【續多項式】More about Polynomials｜多項式長除法｜DSE

續多項式 More about Polynomials 係初中學過多項式嘅延伸課題，屬於數學DSE必考嘅其中一課，內容包括重溫多項式定義、判別多項式、多項式加減乘除、最大公因式 H.C.F. 及最小公倍式 L.C.M.等。 AfterSchool為大家介紹所有公式定理及應用，並附上相關題目示範！ 喺學習零散嘅新知識之前，有冇諗過需要先建立一個系統性嘅學習模式？我係Kingsley，多年來透過DSE數學補習幫助學生輕鬆取得大學入場券。想知道我嘅教學理念同往績，即撳：數學補習名師 Kingsley | AfterSchool 即場學埋： 【一元二次方程】Quadratic Equation｜兩根之和積｜配方法｜判別式 【一元三次方程】餘式定理｜因式定理｜Cubic Equation 多項式基本概念 Polynomials 多項式 (polynomial)是指由一個或多個變量 (variable) 和它們的常數系數 (constant coefficient) 所構成的代數式，其中變量只能以自然數次冪 (natural number exponent) 為指數。 常用詞彙： - 次方 (order)： 多項式中最大嘅次方(又稱為「冪」) - 項數 (no. of terms)： 多項式由多少個單項式組成，例如x2 +x +3則為3組 - 係數 (coefficient)： 多項式中某項未知數前的數字，例如7x2則為7，4y5則為4 - 不同類項(different terms)： 兩個變數或次方不一樣的「項」，例如3y及3x2 - 排列方法降冪(descending order)： 根據次方由大至細排序，例如3x3+y3+2w2+x+3 - 排列方法升冪(ascending order)： 次方細至大排序 - 常數項(constant term)： 只得數字沒有未知數的項 判別多項式 Determination of Polynomials 首先要明白代數式、方程、多項式嘅分別： 代數式：用文字符號代表數的數式 例：-2/7 , 0 , 5x , 2y-5/4x+3 方程：有等號的數式 例：3x-2 = 4x+3 多項式：一個或有限個未知道的單項式的和所形成的代數式 例：「3x2 - 5x + 2」,「4y2 - 5xy + 2x - 3y + 7」,「3x3 - 2xy + 4y2 - 6x3y2 -7x + 5y + 1」 當中需要注意，若未知數出現喺根號、指數、分母入面，則不能定義為「多項式」 例：2x , √(x-1) , 1/x-1 唔記得晒啲證明原因？即撳：【圖形性質 Reason 列表】Geometry prove reason 定理證明原因｜數學 DSE 必背 多項式的加減法 Addition and Subtraction of Polynomials 要做好多項式的加、減法，同學只需記住以下 3 個重點： - 同類項（same terms） - 拆括號 - 正負數加減 例子（一）：3x + 5y + 4x 當中 3x 同 4x 係同類項，所以可以相加： 3x + 4x = 7x x 與 y 唔係同類項，所以唔可以相加。 所以計算步驟如下： 3x + 5y + 4x = 7x + 5y 例子（二）：3x – 5y – (4x – 7y) 係呢個情況因為有括號所以要先拆除。 記得拆括號時要留意前面嘅符號，因為今次係負號，所以係係「負乘正4x」及「負乘負7y」，最後再進行正負數加減，結果如下： 3x – 5y – (4x – 7y) = 3x – 5y - 4x + 7y = 3x - 4x - 5y + 7y [調位方便計算，正常無需寫出嚟] = -1x + 2y 多項式的乘法 Multiplication of Polynomials 要做好多項式的乘法，同學只需記住以下 4 個重點： - 乘法分配性質 - 正負數相乘 - 基礎指數定律 - 多項式加、減法 例子： -3a ( 5a + 6 ) = 15a + 18 喺以上方程裡面，要識得將括號前面嘅 -3a 乘入去 5a 及 6 裡面，呢個動作稱之為「乘法分配性質」。同時，由於 -3a 涉及負數，所以都要留意「正負數相乘」。 計算步驟如下： -3a ( 5a + 6 ) = 15a + 18 -15a2 - 18a = 15a + 18 跟住我哋需要記得「基礎指數定律」，相同指數嘅項數相加。 -15a2 - 18a - 15a - 18 = 0 -15a2 - 33a - 18 = 0 最後將成條數左右邊一齊乘 -1，咁就可以喺唔影響方程嘅情況下將符號變換。 15a2 + 33a + 18 = 0 同場加映：【DSE 數學公式】數學公式表 DSE Maths Formula (中英對照) 多項式的除法 Division of Polynomials 多項式除法指「一組多項式除以另一組多項式」，例如「(x² +3x +5) ÷ (x +1) 」。 多項式除法計算方式與一般除法相同： 一般除法： 被除數＝除數×商數＋餘數 多項式除法： 被除式＝除式×商式＋餘式 多項式除法怎麼算？ 長除法其實和我們在做直式除法時非常相似，一樣將被除式、除式依序用直式寫出，之後只要記得一個重點：「最前面的要被消掉」，之後以此類推，消到不能再消為止，長除法就完成了！ 同樣以『 (x² +3x +5) ÷ (x +1) 』為例，將兩個式子用直式列出： 步驟1：將最前面的消掉，也就是將 「x²」 消除 → x +1 需要乘上 x 才可以變成 x² 步驟2：在商式的位置寫上一個 x → 計算完後會剩下 2x +5 步驟3：以此類推將最前面的消掉，也就是 2x 消除 → x +1 需要乘上 2 才可以變成 2x 步驟4：在商式的位置寫上 2 → 計算完後會剩下 3 步驟5：計算完剩下的 3 無法再被 x +1 消掉 →大功告成 最後再看這個直式就可以知道：商式是 x+2；餘式是 3 多項式除法常見錯誤 ：忘記缺項補零 ❌ 錯誤示範：忘記缺項補「+0x」 ⭕️ 正確示範 多項式的最大公因式與最小公倍式 H.C.F and L.C.M of Polynomials DSE數學考試中，會要求找出兩組多項式 (Polynomial) 的H.F.C. (最大公因式) 和 L.C.M. (最小公倍式)。 簡單的記住兩個口訣： H.C.F（最大公因數 / 最大公因式） 取出所有 Common terms 的「最小次方」 例子：試寫出 (x+2)(x+1)4(2x+3)3 及 (x2+2x+1)2(2x+3)5 的 H.C.F 最大公因式 解：先將後者多項式中的 (x2+2x+1)2 因式分解，利用恆等式可知等於 (x+1)2，於是乎比較下可見(x+2)(x+1)4(2x+3)3 及 (x+1)2(2x+3)5 有兩部分相同。 取其中「最小的次方」，因此答案是：(x+1)2(2x+3)3 L.C.M（最小公倍數 / 最小公倍式） 取出所有term的最大次方 例子：試寫出 (x+2)(x+1)4(2x+3)3 及 (x+1)2(2x+3)5 的 L.C.M 最小公倍式 把所有項取出來，並且取最大，因此答案是： (x+2)(x+1)4(2x+3)5 想學埋其他計數機program？即撳：https://afterschool.com.hk/blog/348-dse-maths-計數機-program/

【續多項式】More about Polynomials｜多項式長除法｜DSE

下載AfterSchool

追蹤AfterSchool