【Cubic Equation 三次方程】Remainder Theorem 餘式定理|Factor Theorem 因式定理

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AfterSchool 2023-12-6 3,298
Cubic polynomial 一元三次方程係數學DSE常見題型,Afterschool教你用計數機因式分解求根,用 factor theorem and remainder theorem solve solution!
一元三次方程 Cubic Equation 喺解題過程中兩個關鍵概念:因式定理(factor theorem)和餘式定理(remainder theorem)。透過以上定理,我哋可以好輕鬆處理三次方程嘅因式分解(factorising cubic equations)和求解根(solution of cubic equation)問題。
AfterSchool 深知數學DSE考核範圍廣泛,當中一元三次方程 Cubic Equation 經常被混搭喺卷一Section A(2)裡面相對較困難嘅題型之中,所以同學如果想攞5+以上就必須將佢融匯貫通啦!
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一元三次方程 Cubic Equation 基本概念

一元三次方程的一般形式為:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
而如果將佢成功因式分解,可以得出以下兩種結果:
(px^2+qx+r)(x-s) = 0
(x-p)(x-q)(x-r) = 0
其中,a、b、c、d、p、q、r、s是常數,而 x 是未知數。解以上方程往往需要用到長除法,當中涉及到複雜嘅計算,而計算之前我們可以先利用因式定理和餘式定理嚟簡化過程。

因式定理 Factor Theorem

因式定理嘅結論係,如果 f(e) = 0,咁 (x - e) 就會係方程嘅因式。換句話講,如果我哋搵到一個值 e 並將其代入方程後使得 f(e) = 0,咁 (x - e) 就係方程的因式。
舉一個例子:
考慮方程 f(x) =  x3 - 6x2 + 11x - 6(紅色線)。如果我們將 x = 1 (橙色線)代入方程,得到:
(1)3 - 6(1)2 + 11(1) - 6 = 0
由於 f(1) = 0 ,因此 (x - 1) 係方程嘅因式。之後我哋就可以用長除法將方程除以因式,就可以得出到餘下嘅部分,亦即係著色部分:
f(x) = (x-1)(ax2+bx+c)
如果可以再因式分解到,就會係:
f(x) = (x-1)(x-p)(x-q)
根據以上圖表或計算所得,我哋可以知道x=2及x=3同方程嘅相交點都係0,同時代入方程都係得到0,換言之佢哋同樣可以整除到方程,亦即係方程嘅因式。因此我哋可以得出結論:
∴ f(x) =  (x-1)(x-2)(x-3)

餘式定理 Remainder Theorem

餘式定理指出,當我哋將一元三次方程代入某個值 e 時,得出嘅值會等於將方程除以 (x - e) 呢個因式嘅餘數相等。
就比如以下例子:
x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0
如果我們將 x = 4 代入方程,得到:
f(4) = (4)3 - 6(4)2 + 11(4) - 6 = 6
f(4) = 6
換言之,當 x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 除以 (x - 4) 嘅時候,餘數就會係 6 ,而成條算式可以咁樣表示:
f(x) = (x - 4) ‧ (ax2+bx+c) + 6

注:當中(ax2+bx+c) 係一個無法因式分解嘅一元二次方程

如何應用因式定理和餘式定理去解一元三次方程

舉例來說,假設我們有一個方程f(x) =  x3 - 6x2 + 11x - 6,我哋可以先從 d 着手,找出它的因數並代入方程中,看看是否能夠使方程的值等於零。
由於乘得出6嘅方法可以有(1 x 6)、(2 x 3)、(-1 x -6)、(-2 x -3),所以我哋可知6嘅因數為-6、-3、-2、-1、1、2、3、6
我哋將每一個數值代入去方程之後,會發現f(2)係等於0,換言之 ( x - 2 ) 是方程的因式。
f(2) =  (2)3 - 6(2)2 + 11(2) - 6 
f(2) = 0
∴ (x - 2) 是方程 f(x) =  x3 - 6x2 + 11x - 6的因式
然後就可以利用長除法(Long division)計埋餘下嘅部分。

使用計數機 calculator 解 一元三次方程 Cubic polynomial

如果唔想由頭開始慢慢計又要用長除法,可以點做?我哋也可以借助計算機輸入【三次方程計算公式】,往後只需要按順序輸入a、b、c、d四個常數,就可以輕鬆得出答案!
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