【圖形性質 Reason 列表】Geometry prove reason 定理證明原因|數學 DSE 必背

Kingsley的5**數學課
Kingsley的5**數學課 2024-2-19 11,616
演繹幾何定理公式喺數學DSE佔步驟分,例如直線、平行線、三角形、四邊形、多邊形內外角和、圓形等reason。AfterSchool為你整合出最詳細嘅Deductive Geometry!
幾何定理 Deductive Geometry 係數學DSE必學一課,皆因所有與圖形相關嘅題目都需要運用到其中嘅公式,如果寫唔出定理就會白白被扣除分數!
AfterSchool將為你整理好一系列幾何定理分類,例如直線、平行線、三角形、四邊形、多邊形內外角和、圓形等,幫助你輕鬆重溫!
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目錄

直線上的角

1. 直線上的鄰角 (Adjacent angles on a straight line)(adj. ∠s on the st. line)

意思係喺一條直線上,所有同邊嘅角的總和為180度。

2. 同頂角 (Angles at a point)(∠s at a pt.)

意思係喺一個點上,所有角的總和為360度。

3. 對頂角 (Vertical opposite angles)(vert. opp. ∠s)

當兩條直線相交時會有4隻角出現。兩隻對住嘅角嘅大小是相同的。(注意係兩條相交直線即係類似「交叉」嘅形狀,如果有其中一條唔係直線就唔能夠咁用!)

平行線上的角

1. 同位角 (Corresponding angles)(corr. ∠s)

意思係面向同一個方位的角的大小是相同的。

2. 內錯角 (Alternate angles)(alt. ∠s,)

意思係喺平行線內方、直線上背對(錯位)邊嘅角係相等的。
其實大家可以利用同位角及對頂角都可以得出同一推論。

3. 同旁內角 (Interior angles)(int, ∠s)

意思係喺平行線內方、直線上同一邊旁嘅角係互補的(即相加總和係180度)。
其實大家可以利用同位角及直線上的鄰角都可以得出同一推論。

三角形

1. 三角形內角和 (Angle sum of triangle)(∠sum of∆)

意思係一個三角形入面三隻角的總和為180度。

2. 三角形外角 (Exterior angle of triangle)(ext.∠ of∆)

意思係把其中一條邊延長,喺外角嘅角嘅大小係另外兩隻三角形嘅內角嘅總和。

3. 三角形內心 (Incentre)

三角形的三條內角平分線(Angle Bisector) 相交於一點,使該點到三角形三邊嘅最短距離(直角距離)相等,並且該點為三角形內接圓嘅圓心。

4. 三角形外心 (Circumcentre)

三角形的三條垂直平分線 (Perpendicular Bisector) 相交於一點,使該點成為三角形外接圓嘅圓心,亦且該點到三角形三個頂點的距離相等。

5. 三角形形心 (Centroid)

三角形三條中線 (Median) 相交於一點,使每條中線都會該點分成兩段,而兩段長度的比例為 1:2

6. 三角形垂心 (Orthocentre)

三角形三條高線 (Altitude) 相交於一點。

7. 截線定理 (Intercept theorem)

當一條新加的直線穿過三角形某一邊的中點,且與另一條邊平行,則必定穿過餘下第三條邊的中點。或 
當一條新加的直線穿過三角形任意兩邊,使兩邊分割比例相等,則直線必定與餘下第三條邊平行。

8. 中線定理 (Mid point theorem)

當一條線分別為穿過三角形兩條邊的中點,則該線平行於餘下第三條邊並且第三條邊的長度兩倍於該直線。

9. 三角不等式 (Sum of two sides > third side of∆) 

三角形任意兩邊長度之和,必定大於餘下第三邊。

10. 等高三角形面積比等於底的比

當兩個任意三角形的高相等,它們的面積比必定與它們的底比相等。(注意很多同學會把這與相似圖形的面積比 = 邊長比2 混淆,切記由於這兩個任意三角形的高相等但底不同,所以並不是相似圖形!)

11. 畢氏定理 (勾股定理)(Pythagorean theorem)

假設a,b,c為△ABC的三邊。 若∠C=90º, 則c2=a2+b2

12. 直角三角形性質(prop. of right △)

  • sin θ = (對➗斜) = (a➗c)
  • cos θ = (鄰➗斜) = (b➗c)
  • tan θ = (對➗鄰) = (a➗b)
  • c2=a2+b2(畢氏定理)

13. 等腰三角形性質(prop. of isos. △)

  • If AB = AC, then ∠ABC = ∠ACB(等腰Δ底角)
  • If ∠ABC = ∠ACB, then AB = AC(等角對邊相等)
  • If ΔABC is an isos. Δ, then AD ⊥ BC & BD = DC & ∠BAD = ∠CAD(等腰Δ性質)

14. 等邊三角形性質(prop. of equil. △)

  • If AB = BC = CA, then ∠A, ∠B, ∠C = 60º(等邊Δ性質)

15. 正弦公式 (Sine Formula)

(a➗sinA) = (b➗sinB) = (c➗sinC)

16. 餘弦公式 (Cosine Formula)

c2 = a2 + b2 - 2‧a‧b‧cosC

17. 全等三角形 (≅△)

SSS、SAS、ASA、AAS、RHS

18. 相似三角形 (~△)

AAA、三邊成比例(3 sides proportional)、兩邊成比例且夾角相等(2 sides proportional and included angle equal)

19. 對應邊 / 對應角 (corr. side / corr. ∠)

  • 全等三角形對應邊長度相等,對應角角度相等;
  • 相似三角形對應邊邊長成比例,對應角角度相等。

四邊形

1. 梯形性質(prop. of trapezoid)

  • 上底 // 下底
  • 同一邊內角相加 = 180°

2. 平行四邊形性質(或證明)(prop. of parallelogram)

  • 對邊相等
  • 對角相等
  • 對角線互相平分
  • 一組對邊相等且平行

3. 菱形性質(prop. of diamond)

  • 對角線互相垂直
  • 4 邊相等
  • 對角線平分頂角
  • + 所有平行四邊形性質

4. 鷂形性質(prop. of Kite)

  • 對角線互相垂直
  • 其一對角線被另一對角線所平分
  • 其一對角線平分頂角

凸多邊形

1. 凸多邊形內角和(In. ∠s sum of polygon) 

設多邊形有n條邊,內角和 = (n − 2) × 180°,每隻內角 = [(n − 2) × 180°]➗ n

2. 凸多邊形n外角和(Ex. ∠s sum of polygon) 

設多邊形有n條邊,外角和 = 360°,每隻外角 = 360°➗ n

圓的基本性質 Basic Properties of Circles

圓的弦線

1. 圓心至弦的垂線平分弦(⊥from centre to chord bisects chord)

2. 圓心至弦中點的連線垂直弦(line joining centre and mid-pt. of chord ⊥chord) 

3. 弦的垂直平分線穿過圓心(⊥bisector of chord passes through centre)

4. 等弦與圓心等距(eq. chords equidistant from centre) 

5. 與圓心等距的弦等長(chords equidistant from centre eq.)

圓的角

6. 圓心角兩倍於圓周角(∠ at centre twice ∠ at circumference) 

7. 半圓上的圓周角(∠ in semi-circle)

8. 同弓形內的圓周角(∠s in the same segment)

圓的角、弧和弦線

9. 等角對等弧 / 等弧對等角 (equal arcs, equal ∠s) 

10. 等角對等弦 / 等弦對等角 (equal chords, equal ∠s) 

11. 等弦對等弧 / 等弧對等弦 (equal arcs, equal chords)

12. 弧與圓心角成比例 (arcs prop. to ∠s at centre)

13. 弧與圓周角成比例 (arcs prop. to ∠s at centre)

圓內接四邊形(證明)

14. 圓內接四邊形對角 (opp.∠s, cyclic quad.)

15. 圓內接四邊形外角(ext.∠s, cyclic quad.)

16. 同弓形內的圓周角的逆定理(Converse of ∠s in the same segment)

17. 對角互補 (opp.∠s supp)

18. 外角=內對角 (ext.∠ = int. opp.∠)

圓與切線

19. 切線⊥半徑 / 切線⊥半徑的逆定理 (tangent ⊥ radius)

20. 切線性質 (tangent properties)

21. 交錯弓形上的圓周角 / 交錯弓形上的圓周角的逆定理 (∠ in alt. segment)

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