【指數及進制】Laws of integral indices|指數公式|進制轉換

Kingsley的5**數學課
Kingsley的5**數學課 2024-2-16 493
指數及進制 Laws of integral indices 係數學DSE常見題型,概念包括指數記數法、指數定律 Laws of Indices;二進制、十進制及十六進制轉換。
指數與進制 Laws of integral indices 係數學DSE必修嘅初中一課,AfterSchool為大家講解詳盡教學,包括指數記數法 Index Notation、指數定律 Laws of Indices;及 二進制 binary system、十進制 denary system 及十六進制 hexadecimal system 轉換。
呢一課單論理解難度其實並唔算深,但由於年代久遠關係,好多同學喺升到高中甚至考DSE嘅時候總會將佢忘記得一乾二淨,白白損失幾分!唔想自己成為其中一分子,就要快啲睇埋落去!
喺學習零散嘅新知識之前,有冇諗過需要先建立一個系統性嘅學習模式?我係Kingsley,多年來透過DSE數學補習幫助學生輕鬆取得大學入場券。想知道我嘅教學理念同往績,即撳:數學補習名師 Kingsley | AfterSchool

指數 Index

指數嘅呈現方式為任何數字或者代數嘅右上角,就例如大家都好熟悉嘅畢氏定理:
a2+b2=c2
當中黐住a、b、c嘅2次方就係指數喇!

指數記數法 Index Notation

至於指數嘅實際意思,其實就係「底 (base) 乘以自己幾多次」。攞返上面畢氏定理做例子,2次方嘅意思就係下面啲字母乘以自己幾多次!(注:次方嘅計算優先度>括號>乘除>加減)
(a‧a) + (b‧b) = (c‧c)
通常我哋會將「a嘅n次方」讀作「a n次」,所以畢氏定理嘅讀法為「a2次加b2次等於c2次」
例子:a‧a‧a‧a‧a‧a‧a‧a‧a‧a = a10 (a嘅10次方)

指數公式 Indices Formula

指數定律 Laws of Indices

1. am ‧ an = am + n
2. am ➗ an = am – n
3. ( am ) n = am ‧ n
4. (ab)n = an ‧ bn
5. (a➗b)n = (an➗bn)

進制 Numeral systems

我哋從小到大都學緊「逢十進一」,但點解一定要逢十先進一?如果逢二進一 或者 逢十六進一 又得唔得呢?答案係可以!
「進制」又叫「進位制」,係一種記數方式嘅統稱。喺數學DSE嘅世界,我哋需要學識以下三種進制:十進制、二進制、十六進制。
至於點樣去表示佢係咩進制,通常我哋會將進制寫喺數字嘅右下角:
10410(十進制)

10011012 (二進制)

14FB216(十六進制)

數碼 Digits

喺學進制之前,我哋要先學識咩叫Digits。
顧名思義,Digits就係數字咁解,就比如3571呢個數,佢係由3、5、7、1呢四個數字組成,而唔同嘅進制,可以使用嘅數字都唔同:
十進制:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9(再上就會進位變10,但其實即係1、0兩個數字)
二進制:0、1(再上就會進位,詳情稍後再解釋)
十六進制:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F(A到F分別代表10至15嘅數值,因為十六進制係逢十六先進一,所以需要創造一啲「數字」出嚟)

位值 Place Value

呢個時候可能會有同學問,3571呢個數唔係應該由3000、500、70、1呢四個數組成咩?如果係由3、5、7、1組成,加埋係16喎!
咁就要帶到落「位值」嘅概念喇!「Digits」嘅意思其實單單係數字,並非數值;而「位值」就真係講緊呢個數字喺呢個位置代表嘅數值!
例子:
一個3位數,百位數係一個質數,十位數與個位數數值相乘等於百位數數值,十位數字又比個位數大,求3位數的可能值。(已知三個數字沒有0)
由於百位數係一個質數,即係得1、2、3、5、7(0排除),佢哋嘅數值分別係100、200、300、500、700
跟住十位數與個位數數值相乘等於百位數數值,十位數字又比個位數大,所以只有以下可能:
100 = 50 x 2
200 = 50 x 4
300 = 60 x 5
換言之,可能值就係152、254、365。

十進制 Decimal system

學識咗上面嘅概念之後,相信大家會比較易明白下面嘅理論!
十進制顧名思義就係逢十進一,比如483呢個數其實攤返長寫係咁的:
400 + 80 + 3
而當中如果運用指數記數法去寫,就會係咁:
4 x 102 + 8 x 101 + 3 x 100 (任何數嘅0次方都係等於1)

二進制 Binary system

二進制同樣道理:
11012 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 1310

十六進制 Hexadecimal

十六進制亦然:
F14B16:15 x 163 + 1 x 162 + 4 x 161 + 11 x 160 =  6177110

進制間之轉換 Conversion between numeral systems

十進制轉換為二進制

利用短除法,不斷除2,然後當成功整除或餘數剩1時停止,將餘數從下而上記錄。
例:        把1310換為二進制
解:        1310 = 11012

十進制轉換為十六進制

利用短除法,不斷除16,然後當成功整除或餘數細於16時停止,將餘數從下而上記錄。
例:        把258810換為十六進制
解:        258810  = A1C16

二進制轉換為十進制

利用拓展法將數值擴寫,再計算答案。
11012 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 1310

十六進制轉換為十進制

利用拓展法將數值擴寫,再計算答案。
F14B16:15 x 163 + 1 x 162 + 4 x 161 + 11 x 160 =  6177110

二進制轉換為十六進制

先將二進制轉為十進制,再進行短除。

十六進制轉換為二進制

先將十六進制轉為十進制,再進行短除。

利用計數機進行進制轉換

按 MODE 3 進入基數計算模式。
計數機上面分別有DEC(十進制)、BIN(二進制)、HEX(十六進制)三個掣,首先基於你一開始嘅進制,撳一吓對應嘅掣。
例子:將F14B16轉為十進制,咁一開始就先撳一吓HEX,你會見到計數機右上角顯示h,咁就啱!
十進制會顯示:d 

二進制會顯示:b 

十六進制會顯示:h
撳完之後,輸入F14B,撳一吓EXE,然後撳一吓DEC,你就會見到個mon將F14B轉咗做61771,呢個就係答案啦!
同樣道理,你就可以快速完成所有進制轉換!
注:記得記得計完之後,按  MODE 1 返回正常計算模式,如果唔係計唔到其他數!
想學埋其他計數機program?即撳:https://afterschool.com.hk/blog/348-dse-maths-計數機-program/
免費 DSE 電子報
定期為 30,000+ 中學生送上實用 DSE 資訊和資源
Kingsley的5**數學課

Kingsley的5**數學課

🥇2023最傑出門生:❤️學霸 ➤ 來自全港排名No.1名校奪5**入UST環球商業💛中游 ➤ MC卷2個月19/45變40/45奪5*💙補底 ➤ 學校預期2-3最終奪5🏆中學時期在DSE數學科1 take過考獲5**級🎓於全球Top 10土木工程系取得榮譽學士學位畢業😍多位學生考獲5級或以上/比學校預期成績進步2級👑No.1教學理念=100%鎖定課本欠缺的DSE滿分元素💯教授屈點の技、瞬視の技、交角定理等MC/LQ秒殺技