【聯立方程】Simultaneous Equations|二元一次方程|三元一次方程

Kingsley的5**數學課
Kingsley的5**數學課 2024-2-16 615
聯立方程 Simultaneous Equations 係數學DSE必修課題,技巧包括將二元一次方程聯立得出兩個項數解,以及將圓方程三元一次方程聯立得出三個項數解。
聯立方程 Simultaneous Equations 係數學DSE必修課題,初階嘅技巧係將二元一次方程聯立得出兩個項數解(x=?、y=?),去到後來高中嘅時候就需要將圓方程三元一次方程聯立得出三個項數解(x=?、y=?、r=?)。
AfterSchool為大家介紹所有公式定理及應用,並附上相關題目示範!
喺學習零散嘅新知識之前,有冇諗過需要先建立一個系統性嘅學習模式?我係Kingsley,多年來透過DSE數學補習幫助學生輕鬆取得大學入場券。想知道我嘅教學理念同往績,即撳:數學補習名師 Kingsley | AfterSchool

二元一次聯立方程式 Simultaneous Linear Equations

當用兩個未知數,列出兩條二元一次方程式表示情境中嘅數量關係時,我們就可以將呢兩條方程式並列以得出答案,稱之為二元一次聯立方程式,或二元一次方程組。 
我哋會使用「 { 」嚟表示二元一次聯立方程式,例如:
  a1x+b1y=c1
{   
  a2x+b2y=c2
注意:當中所有常數項都不等於0,而且上下兩條方程的常數a、b、c均為不同的數值,但x與y則各自代表相同的東西。

解二元一次聯立方程式 Simultaneous Linear Equations Solver

1.代入消去法

【範例】:
解下列二元一次聯立方程式: 
3 x +2 y =13 
x -3 y =-3
解 : 
3 x +2 y =13 …………(1)
x -3 y =-3 …………(2)
由(2)可得 x =-3+3 y  將其代入(1),我們可得:
3(-3+3 y )+2 y =13
-9+9 y +2 y =13
11 y =13+9
y =2
將 y =2 代入(2),我們可得: x -6=-3
x =3
故 x =3 , y =2 為二元聯立方程組的解。

2.加減消去法

【說明】:將二元一次聯立方程組的兩式分別乘除幾倍,兩式相加或相減,使兩個未知數變成一個未知數。利用解一元一次方程式的解法先解出一個未知數,然後再解第二個未知數。
【範例】:
解下列各二元一次聯立方程式: 
3 x +2 y =13
x -3 y =-3
解 :
3 x +2 y =13 …………(1)
x -3 y =-3 …………(2)
將 (1) 乘 3,將 (2) 乘 2,可得:
9 x +6 y =39 ………(3)
2 x -6 y =-6 ………(4)
將 (3) 相加 (4) ,可得:
(9 x +6 y )+(2 x -6 y )=39-6
9 x +2 x +6 y -6 y =33
11 x =33
x =3
將 x =3 代入 (1) ,我們可得:9+2 y =13
y =2
故 x =3, y =2 為二元聯立方程組的解。 

二元一次聯立方程應用題

利用二元一次聯立方程式解決生活情境中的問題,解題步驟為:
1. 認清題意設定兩個適當的未知數。

2. 依題意列出二元一次聯立方程式。

3. 利用代入消去法或加減消去法解二元一次聯立方程式。
【範例】:某人行 35 公里的路,第一段每小時行 4 公里,第二段每小時行 5 公里,若以每
小時行 4 公里的速度改為每小時行 5 公里,而每小時行 5 公里的速度改為每小時行 4 公里,則可比原路多行 2 公里,問原路程共需費多少小時?
解 :設第一段時間為 x ,第二段時間為 y 
4 x +5 y =35……(1)
5 x +4 y =37……(2)
由 (1) 可得 : x = (35 - 5y)/4
將 (1) 代入 (2) 可得:
5(35 - 5y)/4 + 4y = 37
(175 - 25y)/4 = 37 - 4y
175 - 25y = 148 - 16y
27 = 9y
y = 3
將 y 重新代入 (1) 可得:
4 x +5 (3) =35
x = 5
所以第一段時間 (x) 為 5 小時,第二段時間 (y) 為 3 小時,原路程共費時 8 小時。

三元一次方程 linear equation with three unknowns

 圓方程三點求圓 Equation of Circle from 3 Points 

圓形方程的基本式為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,然而如果要透過三點計算圓方程,就需要用到標準式
(x-a)2+(y-b)2 = r2
當中 x 同 y 為圓心嘅 x 座標 及 y 座標,a 同 b 為圓線上任意一點嘅 x 座標 及 y 座標,r 就係圓線上任意一點與圓心之間嘅距離,亦即係半徑。
例題 : 圓經過三點 (2,0),(0,1) 及 (0,4),求圓心, 半徑及圓的方程。
解 : 
要解這個問題,我們可以使用圓的標準方程式 (x-a)2 + (y-b)2 = r2,其中 (x,y) 是圓心的坐標,(r) 是半徑。我們將這三個點分別代入方程式,然後解聯立方程組來找到 (x)、(y) 和 (r)。
給定的點是 (2,0),(0,1),和 (0,4)。代入這些點,我們得到三個方程:
1. 將 (2,0) 代入方程式得到 (x-2)2 + (y-0)2 = r2
2. 將 (0,1) 代入方程式得到 (x-0)2 + (y-1)2 = r2
3. 將 (0,4) 代入方程式得到 (x-0)2 + (y-4)2 = r2
接下來,我們將這三個方程簡化並解聯立方程組。
1. (x-2)2 + (y-0)2 = r2 變為 x2 + 4 - 4x + y2 = r2
2. (x-0)2 + (y-1)2 = r2 變為 x2 + 1 - 2y + y2 = r2
3. (x-0)2 + (y-4)2 = r2 變為 x2 + 16 - 8y + y2 = r2
現在我們解這個方程組找到 (x)、(y) 和 (r)。
首先,我們可以用 Equation 2 減去 Equation 1,消去 r2
(x2 + 1 - 2y + y2) - (x2 + 4 - 4x + y2) = 0 
簡化為: 4a - 2b = 3…………(4)
接下來,我們可以用 Equation 3 減去 Equation 2,同樣消去 r2
(x2 + 16 - 8y + y2) - (x2 + 1 - 2y + y2) = 0
簡化為: 6b = 15…………(5)
解這個聯立方程組,得到 (x = 2) 和 (y = 2.5)。
最後,將 (x) 和 (y) 的值代入其中一個方程,例如 Equation 1:
22 + 4 - 4(2) + (2.5)2 = r2
得到 (r2 = 6.25),解得 (r = 2.5)。
因此,圓心是 (2, 2.5),半徑是 (2.5),圓的方程是 (x-2)2 + (y-2.5)2 = 6.25。
注:一般式為 x2 − 4x + y2 − 5y + 4 = 0
想學埋其他計數機program?即撳:https://afterschool.com.hk/blog/348-dse-maths-計數機-program/
免費 DSE 電子報
定期為 30,000+ 中學生送上實用 DSE 資訊和資源
Kingsley的5**數學課

Kingsley的5**數學課

🥇2023最傑出門生:❤️學霸 ➤ 來自全港排名No.1名校奪5**入UST環球商業💛中游 ➤ MC卷2個月19/45變40/45奪5*💙補底 ➤ 學校預期2-3最終奪5🏆中學時期在DSE數學科1 take過考獲5**級🎓於全球Top 10土木工程系取得榮譽學士學位畢業😍多位學生考獲5級或以上/比學校預期成績進步2級👑No.1教學理念=100%鎖定課本欠缺的DSE滿分元素💯教授屈點の技、瞬視の技、交角定理等MC/LQ秒殺技