函數及其圖像 Functions and Graphs 係數學 DSE 必考課題，就咁聽大家未必知係咩，但當中嘅「f(x)=y」概念卻係經常應用於二次或三次方程之中！
AfterSchool為大家教授重點技巧，包括定義域 domain、對應域 codomain、值域 range、自變量 independent variable、應變量 response variable 等，內含所有公式定理及應用，並附上相關題目示範！
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函數 Functions
同學可以想像「函數 Function」係一部只會單方向運作嘅「機器」，佢能夠將你輸入嘅「資料 Input」經過一套預先設定嘅計算步驟之後，得出「結果 Output」。
就好似以下圖所示，完整嘅水果就係 Input，佢哋全部經過咗一個盒，呢個盒負責執行一個Function→「將啲水果切片」，於是乎最後就生成出切咗片嘅水果Output啦！（啲水果切完片係唔會可以黐得返埋，所以部機淨係可以單向運作㗎咋！）
依家我哋重新代入返去數學嘅概念，假設依家Function執行嘅程序係將Input先乘2再加3，設Input為「x」，output為「y」，我哋就可以得知其實成條Function可以寫成「 2x + 3 = y」。
於是乎我哋可以落埋定義：
變量 Variable
即 Input 及 Output（因為如果我哋改變input嘅數值，output都會因此而改變，兩者均為可變量）
自變量 Independent Variable
即 Input（由於Function係唔會逆向運作，所以實際可以改變嘅數值就只有input）
應變量 Dependent Variable
即 Output（透過改變input嘅數值，output嘅數值都會被迫改變，所以係「因應別人而變嘅量」）
函數 Function
自變量與應變量之間嘅關係（一套已固定嘅計算步驟）
判斷函數 Determination of Function
用返啱先嘅水果故事去講，我扔個橙入去，一定係出返橙嘅切片，絕對無可能出到西瓜切片。
函數同樣道理：
喺一個 input 「x」 與 output 「y」 嘅關係裡面，對於每一個 x 值，都只有一個對應嘅 y 值
我哋可以咁樣去表達：
f(x) = y
當中 f(x) 係講緊 Function 裡面我哋投入 x 做 input，咁樣就會得出 y。
比如用返上面 2x + 3 = y 做例子，我哋知道 2x + 3 係 function 嘅計算步驟，所以：
f(x) = 2x + 3 = y
假設我哋今次扔數值 4 入去，就會變成 f(4) = 2(4) + 3 = 11，如此類推：
| f(x) = 2x + 3 = y | |||
| Input「x」 | 4 | 5 | 6 |
| Output「y」 | 11 | 13 | 15 |
如果係咁，假如今次條式係咁樣又得唔得呢？
f(x) = x2 = y
例如我哋今次扔數值 -2 入去，就會變成 f(-2) = (-2)2 = 4，如此類推：
| f(x) = x^2 = y | ||||
| Input「x」 | -2 | 2 | -3 | 3 |
| Output「y」 | 4 | 4 | 9 | 9 |
細心嘅同學會發現，當我哋扔 -2 / 2 入去，都會得出 4 ；而當我哋扔 -3 / 3 入去，都會得出 9，咁係咪即係唔符合函數嘅定義？
答案係------佢依然屬於函數！
正如啱先所講，每一款生果input入去都應該淨係得出該款生果嘅切片(Output），咁如果將富士蘋果同蛇果放入去，係咪都會得出蘋果切片先！所以翻返去數學概念，唔同嘅input但得出相同output，都係無問題！
咁點先叫有問題？就例如：
f(x) = x = y2
例如我哋今次扔數值 4 入去，就會變成 f(4) = 4 = y2，即係等於 -2 / 2，如此類推：
| f(x) = x = y^2 | ||||
| Input「x」 | 4 | 9 | 16 | 25 |
| Output「y」 | -2 / 2 | -3 / 3 | -4 / 4 | -5 / 5 |
今次大家可以見到，每一個 input 都出咗 2 個 output，需知道蘋果係唔會得出其他水果嘅切片，所以今次呢條函數就唔成立啦！
判別函數是否成立
1）一個 input 只對應一個 output ✓✓✓
2）多個 input 對應同一個 output ✓✓✓
3）一個 input 對應多於一個 output ❌❌❌
垂直線測試法 Vertical Line Test
當需要判別方程是否函數時，可以於座標上劃出一條垂直線，從左至右橫掃整個圖形。如果直線在任何一個地方與圖形交疊多於一點，則該方程「不是函數」。
（圖左及圖右均不是函數）
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定義域 domain、對應域 codomain、值域 range
我哋又去返一開始個例子 f(x) = 2x + 3 = y，假設我哋今次俾個故事佢：
枱面有4款水果：橙(2磅)、蘋果(3磅)、菠蘿(5磅)、西瓜(7磅)，我哋想將佢哋全部切件，咁費用就係「水果重量2倍 + 俾3蚊師傅切」，於是乎可以得知：
f(橙) = f(2) = 2(2) + 3 = 7 元
f(蘋果) = f(3) = 2(3) + 3 = 9 元
f(菠蘿) = f(5) = 2(5) + 3 = 13 元
f(西瓜) = f(7) = 2(7) + 3 = 17 元
定義域 domain
喺以上故事裡面，由於我哋淨係得 4 款生果，所以我哋可以入嘅 input 亦只有 4 個，分別為：2、3、5、7。 因此，我哋可以話呢條函數嘅定義域 domain為「 2 至 7 」。
對應域 codomain
既然我哋知道呢條函數嘅定義域 domain為「 2 至 7 」，咁將裡面嘅最細數 2 到最大數 7 代入函數，得出嘅就係對應域 codomain 嘅範圍，亦即「 7 至 17」。
值域 range
然而由於實際上嘅output只有4個，分別為7、9、13、17，因此我哋可以特別標示呢四個數出嚟，稱之為「值域 range」。
例子：
試找出以下函數的定義域 domain、對應域 codomain、值域 range。（由於以下問題沒有限制input的數量，因此在這情況下，對應域 codomain = 值域 range）
1）f(x) = 1/x
∵ 分母不能為0，也不可為非實數
∴ 定義域 domain：除 0 之外的所有實數
∴ 對應域 codomain / 值域 range ：除 0 之外的所有實數
2）f(x) = (√x) -1
∵ 開方內不能為負數，也不可為非實數，但可以為 0
∴ 定義域 domain：所有非負實數
∵ x 的最少值為 0 （不能為負數），計算後的 output 為 -1
∴ 對應域 codomain / 值域 range ：-1及以上的所有實數
3）f(x) = 1/(x-2)
∵ 分母不能為0，也不可為非實數
∴ 定義域 domain：除了2之外的所有實數（因為當x=0時，就會使分母2-2=0）
∴ 對應域 codomain / 值域 range ：除 0 之外的所有實數
函數圖像 Functions and Graphs
我哋可以將方程以圖像嘅方式表達出嚟，咁就可以輕鬆搵到定義域 domain、對應域 codomain、值域 range。
例子：
（截圖取自「Stepp學院」）
練習：
（截圖取自「Stepp學院」）
答案：
定義域 domain：-1 至 7
