【Functions and Graphs 函數及圖像】Domain 定義域|Variable 變量|f(x)

Kingsley的5**數學課
Kingsley的5**數學課 2024-7-10 940
函數及其圖像 Functions and Graphs 係數學 DSE 必考課題,重點技巧包括定義域 domain、f(x)自變量 independent variable、(y) 應變量 response variable 等。
函數及其圖像 Functions and Graphs 係數學 DSE 必考課題,就咁聽大家未必知係咩,但當中嘅「f(x)=y」概念卻係經常應用於二次或三次方程之中!
AfterSchool為大家教授重點技巧,包括定義域 domain、對應域 codomain、值域 range、自變量 independent variable、應變量 response variable 等,內含所有公式定理及應用,並附上相關題目示範!
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函數 Functions

同學可以想像「函數 Function」係一部只會單方向運作嘅「機器」,佢能夠將你輸入嘅「資料 Input」經過一套預先設定嘅計算步驟之後,得出「結果 Output」。
就好似以下圖所示,完整嘅水果就係 Input,佢哋全部經過咗一個盒,呢個盒負責執行一個Function→「將啲水果切片」,於是乎最後就生成出切咗片嘅水果Output啦!(啲水果切完片係唔會可以黐得返埋,所以部機淨係可以單向運作㗎咋!)
依家我哋重新代入返去數學嘅概念,假設依家Function執行嘅程序係將Input先乘2再加3,設Input為「x」,output為「y」,我哋就可以得知其實成條Function可以寫成「 2x + 3 = y」
於是乎我哋可以落埋定義:

變量 Variable

即 Input 及 Output(因為如果我哋改變input嘅數值,output都會因此而改變,兩者均為可變量)

自變量 Independent Variable

即 Input(由於Function係唔會逆向運作,所以實際可以改變嘅數值就只有input)

應變量 Dependent Variable

即 Output(透過改變input嘅數值,output嘅數值都會被迫改變,所以係「因應別人而變嘅量」)

函數 Function

自變量與應變量之間嘅關係(一套已固定嘅計算步驟)

判斷函數 Determination of  Function

用返啱先嘅水果故事去講,我扔個橙入去,一定係出返橙嘅切片,絕對無可能出到西瓜切片。
函數同樣道理:
喺一個 input 「x」 與 output 「y」 嘅關係裡面,對於每一個 x 值,都只有一個對應嘅 y 值
我哋可以咁樣去表達:
f(x) = y
當中 f(x) 係講緊 Function 裡面我哋投入 x 做 input,咁樣就會得出 y。
比如用返上面  2x + 3 = y 做例子,我哋知道 2x + 3 係 function 嘅計算步驟,所以:
f(x) = 2x + 3 = y
假設我哋今次扔數值 4 入去,就會變成  f(4) = 2(4) + 3 = 11,如此類推:
f(x) = 2x + 3 = y
Input「x」 4 5 6
Output「y」 11 13 15
如果係咁,假如今次條式係咁樣又得唔得呢?
f(x) = x2 = y
例如我哋今次扔數值 -2 入去,就會變成 f(-2) = (-2)2 = 4,如此類推:
f(x) = x^2 = y
Input「x」 -2 2 -3 3
Output「y」 4 4 9 9
細心嘅同學會發現,當我哋扔 -2 / 2 入去,都會得出 4 ;而當我哋扔 -3 / 3 入去,都會得出 9,咁係咪即係唔符合函數嘅定義?
答案係------佢依然屬於函數!
正如啱先所講,每一款生果input入去都應該淨係得出該款生果嘅切片(Output),咁如果將富士蘋果同蛇果放入去,係咪都會得出蘋果切片先!所以翻返去數學概念,唔同嘅input但得出相同output,都係無問題!
咁點先叫有問題?就例如:
f(x) = x = y2
例如我哋今次扔數值 4 入去,就會變成 f(4) = 4 = y2,即係等於 -2 / 2,如此類推:
f(x) = x = y^2
Input「x」491625
Output「y」-2 / 2-3 / 3-4 / 4-5 / 5
今次大家可以見到,每一個 input 都出咗 2 個 output,需知道蘋果係唔會得出其他水果嘅切片,所以今次呢條函數就唔成立啦!

判別函數是否成立

1)一個 input 只對應一個 output ✓✓✓
2)多個 input 對應同一個 output ✓✓✓
3)一個 input 對應多於一個 output ❌❌❌

垂直線測試法 Vertical Line Test

當需要判別方程是否函數時,可以於座標上劃出一條垂直線,從左至右橫掃整個圖形。如果直線在任何一個地方與圖形交疊多於一點,則該方程「不是函數」。
(圖左及圖右均不是函數)
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定義域 domain、對應域 codomain、值域 range

我哋又去返一開始個例子 f(x) = 2x + 3 = y,假設我哋今次俾個故事佢:
枱面有4款水果:橙(2磅)、蘋果(3磅)、菠蘿(5磅)、西瓜(7磅),我哋想將佢哋全部切件,咁費用就係「水果重量2倍 + 俾3蚊師傅切」,於是乎可以得知:
f(橙) = f(2) = 2(2) + 3 = 7 元

f(蘋果) = f(3) = 2(3) + 3 = 9 元

f(菠蘿) = f(5) = 2(5) + 3 = 13 元

f(西瓜) = f(7) = 2(7) + 3 = 17 元

定義域 domain

喺以上故事裡面,由於我哋淨係得 4 款生果,所以我哋可以入嘅 input 亦只有 4 個,分別為:2、3、5、7。 因此,我哋可以話呢條函數嘅定義域 domain為「 2 至 7 」。

對應域 codomain

既然我哋知道呢條函數嘅定義域 domain為「 2 至 7 」,咁將裡面嘅最細數 2 到最大數 7 代入函數,得出嘅就係對應域 codomain 嘅範圍,亦即「 7 至 17」。

值域 range

然而由於實際上嘅output只有4個,分別為7、9、13、17,因此我哋可以特別標示呢四個數出嚟,稱之為「值域 range」。
例子:
試找出以下函數的定義域 domain、對應域 codomain、值域 range。(由於以下問題沒有限制input的數量,因此在這情況下,對應域 codomain = 值域 range)
1)f(x) = 1/x
∵ 分母不能為0,也不可為非實數
∴ 定義域 domain:除 0 之外的所有實數
∴ 對應域 codomain / 值域 range :除 0 之外的所有實數
2)f(x) = (√x) -1
∵ 開方內不能為負數,也不可為非實數,但可以為 0
∴ 定義域 domain:所有非負實數
∵ x 的最少值為 0 (不能為負數),計算後的 output 為 -1
∴ 對應域 codomain / 值域 range :-1及以上的所有實數
3)f(x) = 1/(x-2)
∵ 分母不能為0,也不可為非實數
∴ 定義域 domain:除了2之外的所有實數(因為當x=0時,就會使分母2-2=0)
∴ 對應域 codomain / 值域 range :除 0 之外的所有實數

函數圖像 Functions and Graphs

我哋可以將方程以圖像嘅方式表達出嚟,咁就可以輕鬆搵到定義域 domain、對應域 codomain、值域 range。
例子:
(截圖取自「Stepp學院」)
(截圖取自「Stepp學院」)
練習:
(截圖取自「Stepp學院」)
(截圖取自「Stepp學院」)
答案:
定義域 domain:-1 至 7
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