函數圖像變換 Transformation of Function f(x) in Graph 係數學 DSE 必考課題，同學需要懂得一個函數圖像與方程之間嘅關係，並且喺方程裡面加入其他元素之後將如何影響圖像嘅呈現。
AfterSchool為大家教授重點技巧，重點技巧包括平移 Translating、伸縮 Stretching / Compressing、反射 Reflecting。
連函數都唔知係咩？即場學埋：【函數及其圖像】Functions and Graphs ｜定義域｜變量｜f(x)
從表列、符號和圖像的角度理解函數 f(x) 的變換 Understand the Transformation of the Function f(x) from Tabular, Symbolic and Graphical Perspectives
「函數的變換」係基於對一個函數 f(x) ，喺唔同位置加入唔同嘅數學元素（例如加減乘除）從而得出一個新嘅圖像 g(x)。通常透過比較新、舊函數嘅圖像，我哋能夠得知更多的資料，例如值域及定義域的改變等。
如何繪畫函數圖像 How to draw a function graph
喺學識點樣變換函數圖像之前，我哋不妨先重溫吓點樣畫一個函數圖像出嚟！
例：試畫出方程 y = x2 - 3x + 2
（一）先列表表示 x 及 y 於唔同情況下嘅數值，以 4 - 5 個為佳：
| x | 0 | 1 | 1.5 | 2 | 5 |
| y | 2 | 0 | -0.25 | 0 | 12 |
滑動左右查看更多
（二）於坐標上標出剛才計算的點，例如 (0,2)、(1,0)、(1.5,-0.25)、(2,0)、(5,12)並且將佢哋「流暢地連線」
（三）由於二次方程為一個對稱的拋物線，因此圖像將於對稱軸 x=1.5 左右向上延伸，透最終可得下圖（注意：若然唔肯定圖像應該點畫，不妨試下代負數、0、正數等唔同嘅數值入去，並且數值唔好相差咁近，咁就可以得出一個更完整嘅圖像！）
DSE 常見函數類型 Common Function Graph in DSE
參考剛才上文嘅例子，同學可以發現如果唔係一早知道二次函數係對稱嘅話，就要set好多粒座標先可以完整呈現到成個函數圖像；如果唔想咁麻煩，大家就必須先認識DSE常見嘅函數圖像，以供不時之需。
1. 直線方程
2. 二次方程
3. 指數函數
4. 對數函數(log)
5. Sin(x) Function
6. Cos(x) Function
7. Tan(x) Function
函數上下移動 Translating the Function Graph Upwards/Downwards
向上移動：f(x) + k
向下移動：f(x) - k
注意：k在f(x)之外
設例子： y = x2 - 3x + 2
由於方程可以用函數方式表示，即 f(x) = x2 - 3x + 2，如果我哋係後面加入一個常數k，就會變成：
f(x) + k
= (x2 - 3x + 2) + k
= x2 - 3x + 2 + k
由於原先方程f(x)入面嘅常數項「2」係y軸截距，因此喺加入咗k之後我哋可以得知，新嘅函數圖像y軸截距會由「2」變成「2+k」，亦即代表新函數圖像比舊函數圖像向上垂直移動了k個單位。
減 k 亦同樣道理，新嘅函數圖像y軸截距會由「2」變成「2 - k」，因此新函數圖像將會比舊函數圖像向下垂直移動了k個單位。
詳情可見下圖（紅線為原函數，橙線為f(x)+k，綠線為f(x)-k）
函數左右移動 Translating the Function Graph to the Left / Right
向左移動：f(x+k)
向右移動：f(x-k)
注意：k在f(x)之內，並且記得加號向左，減號向右
設例子：y = 2x1+6
假設 y ＝ 0，我哋可以知道 x1 = -3，亦即係 x1 軸截距為 -3。
如果我哋將 x2+k 代入 x1，就會變成：
x2 + k = -3
x2 = -3 - k
對比x1及x2嘅值，就可以發現新值比舊值多咗個「-k」，因此：
當 f(x+k) 時，x 的最後數值會多了「- k」，亦即向左移動 k 格；
同樣道理，當 f(x-k) 時，x 的最後數值會多了「+ k」，亦即向右移動 k 格
詳情可見下圖（紅線為原函數，橙線為f(x+k)，藍線為f(x-k)）
沿 y 軸作伸展或縮少 Stretching/Compressing the Graph across y-axis
伸展：f(x)‧k
縮小：f(x)÷k
注意：k在f(x)之外
設例子：y=sinx
我們先標記出不同的情況：
| x | 0 / 360 | 90 | 180 | 270 |
| y | 0 | 1 | 0 | -1 |
滑動左右查看更多
如果我們將 f(x)‧k ，設k為2，方程便是y=2sinx，亦即代表計算好原來sinx的值後還要再乘2才等於y：
| x | 0 / 360 | 90 | 180 | 270 |
| y | 0 | 2 | 0 | -2 |
滑動左右查看更多
同樣道理，如果我們將 f(x)÷k ，設k為2，方程便是y=(sinx)÷2，亦即代表計算好原來sinx的值後還要再除2才等於y：
| x | 0 / 360 | 90 | 180 | 270 |
| y | 0 | 0.5 | 0 | -0.5 |
滑動左右查看更多
於是乎情況就會如下圖般，以上下的方向(y軸)壓扁或拉長：
（紅線為原函數，藍線為kf(x)，橙線為f(x)÷k）
唔記得晒啲證明原因？即撳：【圖形性質 Reason 列表】Geometry prove reason 定理證明原因｜數學 DSE 必背
沿 x 軸作伸展或縮少 Stretching/Compressing the Graph across x-axis
伸展：f(x÷k)
縮小：f(x‧k)
注意：k在f(x)之內，並且÷k才是伸展，‧k才是縮小
設例子：y = x2 - 3x + 2
我們先標記出不同的情況：
| x1 | 1.5 | 1 or 2 | 0 or 3 | -1 or 4 |
| y | -0.25 | 0 | 2 | 6 |
滑動左右查看更多
如果我們將函數變成 f(x2÷k) ，設k為2，方程便是
y = (x2÷2)2 - 3(x2÷2) + 2
亦即代表本來【 x1= ? 】這種答案現在會變成【 x2÷2 = ? 】，我們需要把「÷2」扔去另一邊變成「x2」，換言之將原有的答案乘2先能夠得知新的x2的值：
| x2 | 1.5x2 = 3 | (1 or 2)x2= 2 or 4 | (0 or 3)x2= 0 or 6 | (-1 or 4)x2= -1 or 8 |
| y | -0.25 | 0 | 2 | 6 |
滑動左右查看更多
同樣道理，如果我們將函數變成 f(x2‧k) ，設k為2，方程便是
y = (2x2)2 - 3(2x2) + 2
亦即代表本來【x1=?】這種答案現在會變成【2x2=?】，我們需要把原有的答案再除2先能夠得知新的x2的值：
| x2 | 1.5÷2= 0.75 | (1 or 2)÷2= 0.5 or 1 | (0 or 3)÷2= 0 or 1.5 | (-1 or 4)÷2= -0.5 or 2 |
| y | -0.25 | 0 | 2 | 6 |
滑動左右查看更多
於是乎情況就會如下圖般，以左右的方向(x軸)壓扁或拉長：
（紅線為原函數，藍線為f(x÷k)，綠線為f(xk)）
想學埋其他計數機program？即撳：https://afterschool.com.hk/blog/348-dse-maths-計數機-program/
把圖像 y=f(x) 沿 x-軸或 y-軸作反射 （Reflecting the Graph in x-axis/y-axis）
-f(x)：上下反射
f(-x)：左右反射
「反射」係一個比較簡單嘅概念，可以咁樣去記：
設 y = x+1 ，依家將負號塞喺出面，即係最後會導致 y = -(x+1) ，亦即係最終y嘅答案會乘咗個負，y座標上下顛倒；
於是乎得知 -f(x)係上下反射，f(-x)就自然係左右反射啦！
上下反射例子：紅線為y = x2 - 3x + 2；紫線為y = -(x2 - 3x + 2)
左右反射例子：紅線為y=2x+4；紫線為y=2(-x)+4
