【函數圖像變換】Graph Function f(x)|平移|伸縮|反射

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AfterSchool 2024-2-2 3,781
函數圖像變換 Transformation of Function f(x) in Graph 係數學 DSE 必考課題,重點技巧包括平移 Translating、伸縮 Stretching / Compressing、反射 Reflecting
函數圖像變換 Transformation of Function f(x) in Graph 係數學 DSE 必考課題,同學需要懂得一個函數圖像與方程之間嘅關係,並且喺方程裡面加入其他元素之後將如何影響圖像嘅呈現。
AfterSchool為大家教授重點技巧,重點技巧包括平移 Translating、伸縮 Stretching / Compressing、反射 Reflecting。 
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從表列、符號和圖像的角度理解函數 f(x) 的變換 Understand the Transformation of the Function f(x) from Tabular, Symbolic and Graphical Perspectives

「函數的變換」係基於對一個函數 f(x) ,喺唔同位置加入唔同嘅數學元素(例如加減乘除)從而得出一個新嘅圖像 g(x)。通常透過比較新、舊函數嘅圖像,我哋能夠得知更多的資料,例如值域及定義域的改變等。

如何繪畫函數圖像 How to draw a function graph

喺學識點樣變換函數圖像之前,我哋不妨先重溫吓點樣畫一個函數圖像出嚟!
例:試畫出方程 y = x2 - 3x + 2 
(一)先列表表示 x 及 y 於唔同情況下嘅數值,以 4 - 5 個為佳:
x011.525
y20-0.25012
(二)於坐標上標出剛才計算的點,例如 (0,2)、(1,0)、(1.5,-0.25)、(2,0)、(5,12)並且將佢哋「流暢地連線」
(三)由於二次方程為一個對稱的拋物線,因此圖像將於對稱軸 x=1.5 左右向上延伸,透最終可得下圖(注意:若然唔肯定圖像應該點畫,不妨試下代負數、0、正數等唔同嘅數值入去,並且數值唔好相差咁近,咁就可以得出一個更完整嘅圖像!)

DSE 常見函數類型 Common Function Graph in DSE

參考剛才上文嘅例子,同學可以發現如果唔係一早知道二次函數係對稱嘅話,就要set好多粒座標先可以完整呈現到成個函數圖像;如果唔想咁麻煩,大家就必須先認識DSE常見嘅函數圖像,以供不時之需。

1. 直線方程

2. 二次方程

3. 指數函數

4. 對數函數(log)

5. Sin(x) Function

6. Cos(x) Function

7. Tan(x) Function

函數上下移動 Translating the Function Graph Upwards/Downwards

向上移動:f(x) + k

向下移動:f(x) - k

注意:k在f(x)之外
設例子: y = x2 - 3x + 2 
由於方程可以用函數方式表示,即 f(x) = x2 - 3x + 2,如果我哋係後面加入一個常數k,就會變成:
f(x) + k 
= (x2 - 3x + 2) + k
= x2 - 3x + 2 + k
由於原先方程f(x)入面嘅常數項「2」係y軸截距,因此喺加入咗k之後我哋可以得知,新嘅函數圖像y軸截距會由「2」變成「2+k」,亦即代表新函數圖像比舊函數圖像向上垂直移動了k個單位。
減 k 亦同樣道理,新嘅函數圖像y軸截距會由「2」變成「2 - k」,因此新函數圖像將會比舊函數圖像向下垂直移動了k個單位。
詳情可見下圖(紅線為原函數,橙線為f(x)+k,綠線為f(x)-k)

函數左右移動 Translating the Function Graph to the Left / Right

向左移動:f(x+k)

向右移動:f(x-k)

注意:k在f(x)之內,並且記得加號向左,減號向右
設例子:y = 2x1+6
假設 y = 0,我哋可以知道 x1 = -3,亦即係 x1 軸截距為 -3。
如果我哋將 x2+k 代入 x1,就會變成:
x2 + k = -3
x2 = -3 - k 
對比x1及x2嘅值,就可以發現新值比舊值多咗個「-k」,因此:
當 f(x+k) 時,x 的最後數值會多了「- k」,亦即向左移動 k 格;

同樣道理,當 f(x-k) 時,x 的最後數值會多了「+ k」,亦即向右移動 k 格
詳情可見下圖(紅線為原函數,橙線為f(x+k),藍線為f(x-k))

沿 y 軸作伸展或縮少 Stretching/Compressing the Graph across y-axis

伸展:f(x)‧k

縮小:f(x)÷k

注意:k在f(x)之外
設例子:y=sinx
我們先標記出不同的情況:
x0 / 36090180270
y010-1
如果我們將 f(x)‧k ,設k為2,方程便是y=2sinx,亦即代表計算好原來sinx的值後還要再乘2才等於y:
x0 / 36090180270
y020-2
同樣道理,如果我們將 f(x)÷k ,設k為2,方程便是y=(sinx)÷2,亦即代表計算好原來sinx的值後還要再除2才等於y:
x0 / 36090180270
y00.50-0.5
於是乎情況就會如下圖般,以上下的方向(y軸)壓扁或拉長:
(紅線為原函數,藍線為kf(x),橙線為f(x)÷k)
唔記得晒啲證明原因?即撳:【圖形性質 Reason 列表】Geometry prove reason 定理證明原因|數學 DSE 必背

沿 x 軸作伸展或縮少 Stretching/Compressing the Graph across x-axis

伸展:f(x÷k)

縮小:f(x‧k)

注意:k在f(x)之內,並且÷k才是伸展,‧k才是縮小
設例子:y = x2 - 3x + 2
我們先標記出不同的情況:
x11.51 or 20 or 3-1 or 4 
y-0.25026
如果我們將函數變成 f(x2÷k) ,設k為2,方程便是
y = (x2÷2)2 - 3(x2÷2) + 2
亦即代表本來【 x1= ? 】這種答案現在會變成【 x2÷2 = ? 】,我們需要把「÷2」扔去另一邊變成「x2」,換言之將原有的答案乘2先能夠得知新的x2的值:
x21.5x2 = 3(1 or 2)x2= 2 or 4(0 or 3)x2= 0 or 6(-1 or 4)x2= -1 or 8
y-0.25026
同樣道理,如果我們將函數變成 f(x2‧k) ,設k為2,方程便是
y = (2x2)2 - 3(2x2) + 2
亦即代表本來【x1=?】這種答案現在會變成【2x2=?】,我們需要把原有的答案再除2先能夠得知新的x2的值:
x21.5÷2= 0.75(1 or 2)÷2= 0.5 or 1(0 or 3)÷2= 0 or 1.5(-1 or 4)÷2= -0.5 or 2
y-0.25026
於是乎情況就會如下圖般,以左右的方向(x軸)壓扁或拉長:
(紅線為原函數,藍線為f(x÷k),綠線為f(xk))
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把圖像 y=f(x) 沿 x-軸或 y-軸作反射 (Reflecting the Graph in x-axis/y-axis)

-f(x):上下反射

f(-x):左右反射
「反射」係一個比較簡單嘅概念,可以咁樣去記:
設 y = x+1 ,依家將負號塞喺出面,即係最後會導致 y = -(x+1) ,亦即係最終y嘅答案會乘咗個負,y座標上下顛倒;
於是乎得知 -f(x)係上下反射,f(-x)就自然係左右反射啦!
上下反射例子:紅線為y = x2 - 3x + 2;紫線為y = -(x2 - 3x + 2)
左右反射例子:紅線為y=2x+4;紫線為y=2(-x)+4
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