【近似與誤差】Approximation & Errors|相對誤差|百分誤差|絕對誤差

Kingsley的5**數學課
Kingsley的5**數學課 2024-2-16 961
近似與誤差 Approximation & Errors 係數學DSE常見題型,概念包括Maximum Error、Relative Error、Percentage Error等。
近似與誤差 Approximation & Errors 係初中教授嘅課題,AfterSchool 將為你釐清所有近似與誤差嘅概念,包括絕對誤差 Maximum Error、相對誤差 Relative Error、百分誤差 Percentage Error等。
雖知道呢一課喺數學DSE裡面一般唔會佔太多嘅分數,但正所謂「執得一分得一分」,而且呢一課其實非常簡單,只需要搞清楚相關概念就可以攞足所有分數,試問同學又問可以錯過呢!
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估算 Estimation 

當我哋將某一個數值準確至某個近似值,就稱之為估算值。通常,取近似數的方法有四拾五入法 (Rounding Off)、上捨入法 / 下捨入法 (Rounding Up / Rounding Down)、準確至x位有效數字(acc. to X significant figures)

有效數字 Significant Figures

一個數的有效數字的數目是由最左邊的第一位有效數字至最後一個數字。
例:把5602捨入至2位有效數字。

答:5602 » 5600 (準確至2位有效數字)
「0」這個數字的出現常會令有效位數有些困擾,其原則為:小數點後面的「0」均為有效數字,例如 1.10 為三位有效數字;夾在數字中間的「0」均為有效數字,例如 1.0725 為五位有效數字;所有非零數值前的「0」均不是有效數字,例如 0.011 為二位有效數字。

誤差 Errors

誤差意思係「量度出來的數值」同「真實數值」的差距。
以下係一啲相關嘅詞彙:

1. 真實值 True Value

物件嘅真實值,比如長度、重量、容量、數量等等

2. 量度值 Measured Value

用量度儀器對件物件所量度出嚟嘅值

3. 準確度 Precision

量度儀器每一格之間的間距
例如:
用一把刻有1cm、2cm、3cm嘅直尺去量度長度,準確度就係1cm。
用一個會顯示0.5kg、1.0kg、1.5kg、2.0kg嘅電子磅去量度重量,準確度就係0.5kg。

4. 最大誤差 Maximum Error

指量度出來的數值同真實數值的最大差距

5. 相對誤差 Relative Error

指絕對誤差與真值的比值,即:相對誤差 = 絕對誤差/真值(通常以 (1/n) 表示)

6. 百分誤差 Percentage Error

百分誤差是用相對誤差乘以100%,以百分比嘅方式呈現誤差

7. 上限 Upper Limit

以量度值為根單位,推斷最大的可能真實值
例如:如果已知一本書嘅重量係0.5kg (準確至小數點後一個位),書嘅重量上限就係0.55kg。因為如果係0.55kg,按「準確至小數點後一個位」嘅原則,我地要講本書係0.6kg的。

8. 下限 Lower Limit

以量度值為根單位,推斷最小的可能真實值
用返上面嘅例子,書嘅重量下限係0.45kg。因為如果係0.45kg以下(即如0.445kg),按「準確至小數點後一個位」嘅原則,我地要講本書係0.4kg的。

9. 可能範圍 Range

下限至上限的範圍

常見誤差公式 Formula

例:用最小刻度為0.1cm的尺量度書的闊度,量度結果是15cm。
量度值 = 15cm
準確度 = 0.1cm
最大誤差 = 0.1 / 2 = 0.05cm
相對誤差 = 最大誤差 / 量度值 = 0.05/15 = 1/300
百分誤差 = 相對誤差 × 100% = 0.33% (準確至二位有效數字)
上限 = 15 + 0.05 = 15.05 cm
下限 = 15 - 0.05 = 14.95 cm
可能範圍 = 14.95 cm 至 15.05 cm
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