【Factorization 因式分解】Cross Method 十字相乘法

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AfterSchool 2023-12-29 3,333
因式分解 Factorization 係數學DSE必修課題,重點技巧包括抽因式 Common Factor、恆等式 Identities 及十字相乘法 Cross Method
因式分解 Factorization 係初中嘅課題,但喺數學DSE A part可以話必考,甚至後面好多高深嘅題目都需要繼續用到以下技巧:抽因式 Common Factor、恆等式 Identities 及十字相乘法 Cross Method。
AfterSchool為大家介紹所有公式定理及應用,並附上相關題目示範!
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因式分解 Factorization

因式分解係將一個多項式分解為2個或以上因式嘅過程,初學嘅同學可以將佢當做細個學因數時嘅概念,6可以拆成2x3,而我哋就想將一個冗長嘅多項式分解成幾個簡單啲嘅格式,方便計算。
目前數學DSE常用嘅技巧有:抽公因式、拼項法、恒等式、十字相乘法

因式分解常見公式 Factorization Formula

以下為一啲常用公式,大家如果見到以下格式,就可以直接轉換:
(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd

(a+b)(a-b) = a2 – b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a3 + b3 = (a+b)(a2-ab+b2)

a3 – b3 =(a-b)(a2+ab+b2)

抽公因式 Taking Common Factor Method

當兩個項數有相同因式嘅時,我地可以利用以往學過「抽公因數」嘅技巧,把公因式抽出嚟。
例:因式分解 ab-ac
解:ab-ac
= a(b-c)

拼項法 Grouping Terms Method

所謂嘅拼項法,其實只係在因式化過程中,我地會將項數先分組,然後將各組別先因式化,之後再繼續。
例:因式分解 ab – ac – pb + pc
解:ab – ac – pb + pc
= a(b-c) - p(b-c)
= (a-p)(b-c) 
留意當我地把前面兩項同兩面兩項抽公因式後,a(b – c) 和 p(b – c)就可以睇成係兩個項。而佢地當中都有 (b – c),所以可以再進行抽公因式。
喺化簡過程中,如果同學俾繁長嘅項式搞到眼花繚亂,可以將 (b – c) 呢啲用括號括住嘅項當作一個符號例如「 ⍨ 」,於是乎成條式就會變咗「a⍨ – p⍨」,好自然就可以抽因式變成「⍨(a-p)」,最後再將符號變返原狀,得出「(b-c)(a-p)」。

恆等式 Identities

例:  因式分解 4x2+12x+9
解 :由於a2+2ab+b2 = (a+b)2,因此
4x2+12x+9
= (2x)2+2(2x)(3)+(3)2
= (2x+3)2
想學更多恆等式應用?即撳:【恆等式】Identity|數學DSE 

十字相乘法 Cross Method

若果抽公因式及利用恒等式都做唔到因式分解,大家就可以嘗試十字相乘法!
例:因式分解 x2-x-12
解:答案等於(x-4)(x+3)
十字相乘法步驟:
1. 將2次方嘅項同常數項分別寫喺左上角同右上角,然後喺佢哋下面寫出因數(就例如x2係由x‧x得出,所以就寫兩個x出嚟;至於-12嘅因數非常多,大家可以試吓求其攞一pair出嚟先,比如-4 x 3就係-12,於是乎我哋將呢兩個數寫出嚟。
2.如圖所示,將兩邊嘅項數交叉乘,分別得出3x同-4x,跟住將呢兩個數相加,睇吓等唔等於多項式中間嗰part(-x)。
3. 如果答案等於多項式中間嗰part,咁算式就為之正確,我哋可以打橫為之一個括號寫出因式分解後嘅答案,即:(x-4)(x+3)
4. 如果答案不等於多項式中間嗰part,即係因數set錯咗,可能上下調一調位就能夠解決,又或者可能需要試吓其他因數,就例如-12唔一定係-4 x 3,可能會係「-3 x 4」、「-6 x 2」、「-2 x 6」等等,直到算式正確,再做返 #第3步。

計數機因式分解

如果實在唔想煩,其實只要見到一元二次方程,即係ax2+bx+x,或者二元二次方程,即係ax2+bxy+cy2嘅時候,都可以輕鬆用計數機得出答案!
步驟:
1. 撳Formula 01,依次序輸入a、b、c三個數(記得每輸入完一個都要撳一吓exe),最後就會得出x嘅值(可能係兩個異根、一個重根、或者error,如果error嘅話即係條數無實根,做唔到因式分解)。
2. 將x嘅值調返轉寫得出多項式,就例如:x=5 及 x= -4/5,於是乎就可以寫 (x-5)(5x+4)。
3. 如果本身係ax2+bxy+cy2 咁樣嘅方程,只需要喺括號後面個數加返y入去就得,即係(x-5y)(5x+4y)。
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