【Method of Completing The Square 配方法】

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AfterSchool 2024-1-19 3,208
配方法 Completing The Square 係 DSE 數學課題「一元二次方程 Quadratic Equation」之中嘅必學技巧,當中包括將一般式化為配方法、圖解法、兩根之和與積等。
配方法 Completing The Square 係 DSE 數學課題「一元二次方程 Quadratic Equation」之中嘅必學技巧,AfterSchool為大家介紹所有公式定理及應用,並附上相關題目示範!
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配方法 Completing the square

去找出二次方程的最大值和最小值,我們會使用配方法,同時配方法嘅運算概念亦可以幫我哋解答到點解會有上文嘅方程列表。
首先,我哋知道二次方程嘅一般式為 ax2+bx+c=0 ,而配方法嘅方程式則為:
y = a(x - h)2 + k 
要將一般式轉變為配方法方程,我哋可以基於一個原則,就係想將一般式方程變成(a+b)2 或 (a-b)2 嘅樣式。
就比如大家喺恆等式嗰課學過:
(a+b)2 ≡ a2 + 2ab + b2  
(a-b)2 ≡ a2 -2ab +b2
以下用例子  y = 4x2 + 16x + 5 說明配方法的步驟:

配方法圖解法 

解二次方程的另一種方法是通過繪製二次函數的圖像來觀察方程的解。
繪畫二次方程圖像時,我哋需要先透過方程嘅常數去搵出「開口方向」、「頂點 Vertex」、「對稱軸 Asis of symmetry」、「x軸截點 x-intercept(亦即是root根)」及「y軸截點 y-intercept」。
設方程:
y = a(x - h)2 + k ,其中 a、h、k 是為常數實數。

開口方向

拋物線的開口分為向上或向下,向上的話會有最低點,向下會有頂點。
判別開口方向:方程常數a前面的符號,如 + 則開口向上,如 - 則開口向下。

頂點 Vertex

拋物線的最低點或最高點。
頂點座標 ( x , y ):( h , k)

對稱軸 Asis of symmetry

於頂點上下延伸而成且垂直於y軸的平行線,是拋物線的鏡像反射線,亦即是頂點的y座標。
對稱軸表達方式:y = 頂點的 x 座標 (例:y = 2)

x軸截點 x-intercept(root 根)

亦即是方程的解,基於拋物線是否接觸到x軸,可以有2個解、1個解或是無解。
x軸截點計算方式:圖像相交於 x 軸的點,或以算式計算(見「一元二次方程」)

y軸截點 y-intercept

所有拋物線必定會穿過y軸一次,可以是正數、負數或等於0。
y軸截點 = 圖像相交於 y 軸的點

配方法與兩根之和積 Sum/Product of roots

設一條二次方程 ax2+bx+c=0 ,其兩個根為 𝛂 及 𝜷 ,則:
𝛂+𝜷 = -b/a
𝛂𝜷 = c/a
有時候題目會要求考生喺計算完𝛂 + 𝜷 及 𝛂𝜷 之後再繼續延伸方程,呢個時候就需要背好以下嘅常用方程:
要理解以上方程點樣得嚟,我哋可以利用配方法。
例子:
一)試展開 𝛂2 + 𝜷2,使其成為 𝛂+𝜷 或 𝛂𝜷 的項式,以繼續計算答案。
當我哋學咗配方法之後,就會知道 𝛂2 + 𝜷2 中間只要加返個2𝛂𝜷,就係一條好完美嘅恆等式變成(𝛂+𝜷)2。然而由於我哋唔可以粒亂加啲數落條式到,加完要減返先得,所以就會變成:
 𝛂2 + 𝜷2 + 2𝛂𝜷 - 2𝛂𝜷
= (𝛂+𝜷)2 - 2𝛂𝜷
二)試展開 𝛂 - 𝜷,使其成為 𝛂+𝜷 或 𝛂𝜷 的項式,以繼續計算答案。
呢一題相對會複雜少少,首先 𝛂 - 𝜷 唔可以直接展開,唯一方法就係變成恆等式「(𝛂 - 𝜷)2」,但因為我哋唔可以就咁加個2次方整亂條數,所以出面要加返個開方Balance返!
𝛂 - 𝜷
= √ (𝛂 - 𝜷)2
= √ (𝛂2 - 2𝛂𝜷 + 𝜷2)
將(𝛂 - 𝜷)2拓展成「𝛂2 - 2𝛂𝜷 + 𝜷2」之後再調一調位,就可以變成「𝛂2 + 𝜷2 - 2𝛂𝜷」,而上面例子(一 )已經教過 𝛂2 + 𝜷2 可以變成 (𝛂+𝜷)2 - 2𝛂𝜷,所以答案就會變成:
= √ (𝛂2 - 2𝛂𝜷 + 𝜷2)
= √ (𝛂2 + 𝜷2 - 2𝛂𝜷)
= √ ( (𝛂+𝜷)2 - 2𝛂𝜷 - 2𝛂𝜷)
= √ ( (𝛂+𝜷)2 - 4𝛂𝜷)
仔細一睇,所有項已經變成 𝛂+𝜷 或 𝛂𝜷 ,咁就完成啦!
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