【一元二次方程】Quadratic Equation|兩根之和積|配方法|判別式

Kingsley的5**數學課
Kingsley的5**數學課 2024-2-16 835
一元二次方程 Quadratic Equation 係數學DSE必修課題,技巧包括解方程、因式分解、判別式、拋物線圖解、兩根之和與積、配方法等。
一元二次方程 Quadratic Equation 係數學 DSE 必修課題,通常會透過計算或圖像方式去求證方程嘅解、座標、兩根之和與積等。
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解一元二次方程 Quadratic Equation Solver

一元二次方程喺數字上嘅表現方式為:
ax2+bx+c=0
當中a、b、c為常數,x則為未知數。
想得到一元二次方程嘅解,我哋可以用以下方法去處理:

1. 抽公因式 Taking Common Factor Method

2. 拼項法 Grouping Terms Method

3. 恆等式 Identities

4. 十字相乘法 Cross Method

以上 4 種解法嘅詳情可以睇呢下 2 篇文章:

5. 二次公式 Quadratic Formula

相信大家都有見過有啲解二次方程嘅問題會要求大家用根號表示,如果同學直接將常數撳入去計數機,會發現出到嚟係一抽小數點後數字,根本用唔到嚟做答案。
呢個時候,就要先理解計數機 formula 01裡面其實係一條「二次公式」,寫出嚟係咁:
ax2+bx+c=0
∴ x = [ (-b) ± √b2-4ac ] ➗ 2a
其中,± 表示取兩個值,一個加號,一個減號,分別代表兩個解。√ 表示平方根,即開根號,計算次序為先計算 b2-4ac 將答案開根,然後 -b 加/減去答案,再將答案除2a,以得出最終答案。

一元二次方程判別式 Discriminant (𐊅 Delta)

喺計算二次公式嘅時候,我哋會發現 √b2-4ac 影響住最終答案嘅數目,例如:
  • 大於零,即 √b2-4ac > 0,則最終有兩個不相等的實數解;
  • 等於零,即 √b2-4ac = 0,則最終有一個實數解,稱為重根;
  • 小於零,即 √b2-4ac <0,則最終沒有實數解(因負數不能被開方)。
因此 √b2-4ac 又被稱為判別式,用於判斷方程有幾多個實根。當然,亦可以透過圖解法去得出方程唔同嘅數值。

一元二次方程圖解法 

解二次方程的另一種方法是通過繪製二次函數的圖像來觀察方程的解。
繪畫二次方程圖像時,我哋需要先透過方程嘅常數去搵出「開口方向」、「頂點 Vertex」、「對稱軸 Asis of symmetry」、「x軸截點 x-intercept(亦即是root根)」及「y軸截點 y-intercept」。
設方程:
ax2+bx+c=0,其中 a、b、c 是為常數實數。

開口方向

拋物線的開口分為向上或向下,向上的話會有最低點,向下會有頂點。
判別開口方向:方程常數a前面的符號,如 + 則開口向上,如 - 則開口向下。

頂點 Vertex

拋物線的最低點或最高點,通常我們會先計算頂點的 x 座標。
頂點 x 座標計算方法:-b/2a 或 將兩個根相加除二
頂點 y 座標計算方法:把(-b/2a)代入方程的未知數 x 裡計算後得出答案

對稱軸 Asis of symmetry

於頂點上下延伸而成且垂直於y軸的平行線,是拋物線的鏡像反射線,亦即是頂點的y座標。
對稱軸表達方式:y = 頂點的 x 座標 (例:y = 2)

x軸截點 x-intercept(root 根)

亦即是方程的解,基於拋物線是否接觸到x軸,可以有2個解、1個解或是無解。
x軸截點計算方式:見上文「解一元二次方程」

y軸截點 y-intercept

所有拋物線必定會穿過y軸一次,可以是正數、負數或等於0。
y軸截點 = 方程的常數c(需要連前方的符號)

由已知根建立一元二次方程 Forming Quadratic Equations with Given Roots

根據上圖可得知以下信息:
開口方向:上(即常數 a 前面是 + )
頂點 Vertex:1.5(1+2除二)
對稱軸 Asis of symmetry:y = 1.5
x軸截點 x-intercept:1 及 2(2個實根)
y軸截點 y-intercept:2
因此可以寫出方程:
( x - 1 ) ( x - 2 ) = 0
x2 - 2x - x + 2 = 0
x2 - 3x + 2 = 0

兩根之和 兩根之積 Sum/Product of roots

設一條二次方程的兩個根為𝛂及𝜷,即可知方程應為:
(x-𝛂)(x-𝜷)=0
x2-x𝜷-x𝛂+𝛂𝜷=0
x2-x(𝛂+𝜷)+𝛂𝜷=0
以上方程分別對應一般式 ax2+bx+c=0,當中:
a = 1
b = -(𝛂+𝜷)
c = 𝛂𝜷
由此可知:
𝛂+𝜷 = -b ➗a
𝛂𝜷 = c ➗a
【範例】:若一個二次方程式之二根為 1、6,求此二次方程式。
解 :
方法一:
兩根之和=1+6=7
兩根之積=1×6=6
∴ 此二次方程式為:
x2 -(α+β) x +αβ = 0
x2 -7 x +6 = 0
方法二:
( x -α)( x -β)= 0 
( x -1)( x -6)= 0
x2 -7 x +6=0
【範例】:設𝛂、𝜷為二次方程式 x2 +3x-5=0 的兩根,則𝛂 + 𝜷,𝛂𝜷之値。
解 :
𝛂 + 𝜷= -b ➗a = -3/1 = -3
𝛂𝜷 = c ➗a = -5/1 = -5

應用 兩根之和 兩根之積 Application of Sum/Product of roots

除咗上面嘅基本題目,有時候題目會要求考生喺計算完𝛂 + 𝜷 及 𝛂𝜷 之後再繼續延伸方程,呢個時候就需要背好以下嘅常用方程:
要理解以上方程點樣得嚟,首先要學識配方法!

配方法 Completing the square

想學好配方法?即睇詳細攻略:【配方法】Completing The Square
去找出二次方程的最大值和最小值,我們會使用配方法,同時配方法嘅運算概念亦可以幫我哋解答到點解會有上文嘅方程列表。
首先,我哋知道二次方程嘅一般式為 ax2+bx+c=0 ,而配方法嘅方程式則為:
y = a(x - h)2 + k 
要將一般式轉變為配方法方程,我哋可以基於一個原則,就係想將一般式方程變成(a+b)2 或 (a-b)2 嘅樣式。
就比如大家喺恆等式嗰課學過:
(a+b)2 ≡ a2 + 2ab + b2  
(a-b)2 ≡ a2 -2ab + b2
以下用例子  y = 4x2 + 16x + 5 說明配方法的步驟:
對於配方法 y = a(x - h)2 + k ,我哋可以得知:
a為正數時開口向上,亦即有最小值;
a為負數時開口向下,亦即有最大值。
最大值或最小值的座標為(h,k)
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