【變分】正變|反變|聯變|部分變|Variations

Kingsley的5**數學課
Kingsley的5**數學課 2024-2-19 2,238
變分 Variations 係DSE數學必修一課,當中技巧包括正變 Direct、反變 Inverse、聯變 Joint 及 部分變 Partial。
變分 Variations 係DSE數學必修一課,同學需要理解多個未知數與常數之間嘅比例變化,當中技巧包括正變 Direct Variations、反變 Inverse Variations、聯變 Joint Variations 及 部分變 Partial Variations。
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變分 Variations

「變分」亦稱為「變數法」(英文都係 Variations),簡單嚟講「變分」就係講緊兩個或以上變數之間嘅關係。
喺DSE課程入面要識嘅「變分」有四種:
1. 正變 Direct Variations
2. 反變 Inverse Variations
3. 聯變 Joint Variations
4. 部分變 Partial Variations

正變 Direct Variations

如果 x 同 y 嘅關係係「正變」,咁即係話當 x 變大嘅時候,y 都會按比例咁變大。
- 用文字我哋會話: y 隨 x 正變
- 用符號可以寫成: y ∝ x
- 用方程可以寫成: y = kx (k 是一個不等於0的常數(即係數字一個)) 
例子: 已知 y 隨 x 平方正變,且當 x = 2 時,y = 12。求當 x = 3 時 y 的值。
解:
1. 首先記得每一題都要為方程及常數k立下定義,即:y ∝ kx2 , 當中 k≠0
2. 根據題目,y 隨 x 平方正變,因此 y = kx2(注意,要非常小心平方、立方等字眼!)
3. 計算變分題目時,重點在於先計算出常數 k 嘅數值,藉此代入新嘅情境計算新嘅未知數
y ∝ kx2 , 當中 k≠0
當 x = 2 , y = 12, 
12 = k (2)2
k = 3
∴ y = 3x2
現設 x = 3,
y = 3(3)2
∴ y = 27 

反變 Inverse Variations

如果 x 同 y 嘅關係為「反變」,咁即係話當 x 變大時,y 會變細。
- 用文字我哋會話: y 隨 x 反變
- 用符號可以寫成: y ∝ k/x
- 用方程可以寫成: y = k/x (k 是一個不等於0的常數(即係數字一個))

聯變 Joint Variations

聯變係兩個或以上嘅「正變 / 反變」結合之後嘅關係。
- 注意!聯變只有一個常數k
- 題目表達手法為「一個未知數隨某另一未知數正變及另一未知數反變」
例子: y隨x立方反變且隨z平方正變
答案:y ∝ kx3/z2

部分變 Partial Variations 

「部份變」與「聯變」嘅分別在於部分變會有2部分,即:
  • 會有2個常數k
  • 題目表達手法會多加一句「一未知數由兩部分組成」
例子:y是兩部份之和,其中一部份固定不變,另一部份隨 x 平方正變。 當x = 2時,y = 14;當x = 1時,y = 11。求當x = 3時y的值。
答案:
y ∝ k1 + k2x2(k1,k2 為非零常數)
y = k1 + k2x
當x=2時,y=14
k1 + 4k2 = 14
當x=1時,y=11
k1 + k2 = 11
利用聯立方程,可知k1 = 10 及 k2 = 1
∴y = 10 + x2
當x = 3時,y = 10 + (3)2 = 19
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