【Linear Programming 線性規劃】System of Inequalities 不等式組

Kingsley的5**數學課
Kingsley的5**數學課 2024-7-10 1,745
線性規劃 Linear Programming 係數學DSE嘅必修課題,重點技巧為列出不等直線方程 Ax+By<C 或 Ax+By>C,最後找出範圍內的最大值或最少值。
線性規劃 Linear Programming 係數學DSE嘅必修課題,同學需要先學懂直線方程,跟住列出不等直線方程 Ax+By<C 或 Ax+By>C,最後找出範圍內嘅最大值或最少值。
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直線方程不等式 Two-Variable Inequalities

若a,b,c為實數,且a,b不同時為0,則:
ax+by+c=0
為二元一次方程式;亦因為佢嘅圖像為一條直線,所以又稱為直線方程式(圖一)。
參考上圖一,直線方程為2x+y=2,可知於其直線上的任意一點(x,y)都滿足方程式2x+y=2。
因此,當點P的x坐標為x0,y坐標則為2−2x0
當我們將方程式其中的等號「=」改成不等號「>」,「≥」,「<」或「≤」就稱為二元一次不等式。
例如,2x+y>2 或 2x+y≤2  均為二元一次不等式。
既然係咁,滿足二元一次不等式嘅解又會形成點樣嘅圖形?一齊睇埋落去!

判別直線不等式範圍

仔細觀察圖二,直線2x+y=2將平面分成二個半平面,成為兩個半平面的界線。
以座標 P 為例,當P的x坐標或y坐標「加大」時(例如x坐標+10、y坐標+20),我們可以知道座標P會先向右移10個單位,再向上移20個單位,最後落在直線的右邊範圍。
因此可得知,當不等式為「大於」時,範圍為右手邊;相反,當不等式為「小於」時,範圍為左手邊!

注意!!用左/右去判別範圍就可以,唔好係咁思考「上還是下,左還是右」!
以上圖三是一個實際例子,範圍為:
4x–y–7 ≤ 0

3x–4y+11 ≥ 0

x+3y–5 ≥ 0
先看4x–y–7 ≤ 0,由於是「小於」,所以向左;
再看3x–4y+11 ≥ 0,由於是「大於」,所以向右;
最後x+3y–5 ≥ 0,由於是「大於」,所以向右。

在線性範圍內求最大值 / 最小值

在滿足聯立不等式的條件下,我們還能考慮所求函數的極值問題,比如以圖三作例子,求:
f(x,y)=x−y 的最大值與最小值
首先,設x-y為一條直線方程,可知x-y=0,即x=y
x123
y123
利用以上三點,可以在圖上畫出x=y的圖像。
接著把直線向左向右推動,以觀察不同的頂點值,例如(-1,2)、(3,5)、(2,1)
最後重新代入函數f(x,y),即:
情況一:(-1) - (2) = -3

情況二:3 - 5 = -2

情況三:2 - 1 = 1
由此可見,最大值為1,最小值為-3,即:
最大頂點為(2,1)
最小頂點為(-1,2)

無需推線猜出最大值/最小值的方法

假如覺得推線麻煩,可以有更快的方法猜到最大頂點/最小點頂嗎?
當然有!
同樣利用圖三,假設這次求:
f(x,y)=2x−3y 的最大值與最小值
我們可以假設,x與y分別是爸爸和媽媽,他們每天都會給你零用錢/問你拿家用,數量就視乎函數中x和y前面的數值,例如上述情況,每天x都會給你2元,y則收取你3元;
在這情況下,我們可以估算,如果想自己得到最多的錢,就應該「x有咁大攞咁大,y有咁細攞咁細」;
於是乎對於(-1,2)、(3,5)、(2,1)呢三個頂點,我哋會見到(2,1)係最大值,因為x係裡面最大,y係裡面最細;至於(-1,2)、(3,5)邊個係最小值就有啲難比較,所以都係代數入函數計算最穩陣!
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