【Permutation and Combination 排列與組合】nCr|nPr|n!|∪ 聯集|∩ 交集

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AfterSchool 2024-3-20 155
Permutation and Combination 排列與組合係數學DSE嘅必修課題,技巧包括認識排列nPr、組合nCr,以及 ∪聯集Union、∩ 交集Intersection等。
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乘法原則

乘法則用於計算獨立事件的總數。如果事件 A 可以發生 m 次,而事件 B 可以發生 n 次,則事件 A 和事件 B 同時發生的總次數為 m × n。
舉例:
假設你有一件衣服,有 3 種不同的顏色可以選擇:紅色、藍色和綠色。同時,你還有 2 種不同的尺寸可以選擇:小號和中號。如果你想知道有多少種可能的衣服選擇,則根據乘法原則,你可以將顏色的選擇數(3)乘以尺寸的選擇數(2),得到總共的可能性數量為 3 × 2 = 6。

加法原則

加法原則指出,如果有兩個互斥的事件,則這兩個事件的總數量等於它們各自的數量之和。
舉例:
假設你要從一個城市前往另一個城市,有兩條可行的路徑,分別是路線 A 和路線 B。而每條路線上又有幾個分岔路口可以選擇。假設路線 A 有 3 個分岔路口,路線 B 有 4 個分岔路口。
根據加法原則,總共有多少條可能的路徑呢?我們可以將路線 A 和路線 B 上的分岔路口數量相加,得到總共的可能性數量為 3 + 4 = 7 條路徑。
這裡每條路徑都是一個獨立的事件,而根據加法原則,我們將兩條路徑的數量相加來計算總數量。這個原則可以應用於各種情況,幫助我們計算不同事件的總數量。

階乘 Factorial

階乘(Factorial)是一個重要的數學概念,通常用符號「n!」表示,其中 n 是一個非負整數。階乘表示從 1 到 n 的所有正整數的乘積。
公式:
n!=n×(n−1)×(n−2)×…×2×1
例子:
讓我們用幾個例子來解釋階乘:
  • 0!=1:零的階乘被定義為 1。
  • 1!=1:一的階乘是 1。
  • 2!=2×1=2:兩的階乘是 2。
3!=3×2×1=6:三的階乘是 6。
  • 4!=4×3×2×1=24:四的階乘是 24。

排列 Permutation

排列指的是從一組物件中按照一定順序選取若干個物件的方式。如果有 n 個物件,其中 r 個物件按照一定順序選取,則排列的數量用 nPr 表示。
例子:
假設你有三本書 A、B、C,要從中選擇兩本書按照順序排列。那麼排列的方式有:AB、AC、BA、BC、CA、CB。因此,這裡的 n = 3,r = 2。所以,排列的數量為 3P2 = 6。

組合 Combination

組合指的是從一組物件中選取若干個物件的方式,不考慮其順序。如果有 n 個物件,其中 r 個物件選取,則組合的數量用 nCr 表示。
例子:
假設你有三個水果:蘋果、橘子和香蕉。你想從中選擇兩種水果,不考慮它們的順序。組合的方式有:{蘋果, 橘子}、{蘋果, 香蕉}、{橘子, 香蕉}。因此,這裡的 n = 3,r = 2。所以,組合的數量為 3C2 = 3。

事件的運算法則

1. Empty set 空集合

不包含樣本空間的任意事件的集合為空集合, 以 Φ 表示

2. Complement 補集

A 的補集以 A2 表示,指的是所有不在 A 中的元素(當 A2 發生時,A 不發生)
The occurrence of A2 means that A does not occur.

3. Union 聯集

A, B 的聯集以 A ∪ B 表示,意思就是無論中了A或中了B,或是既是A又是B的,都在這個集合之中。
The occurrence of A ∪ B means that either A or B or both occur.

4. Intersection 交集

A, B 的交集以 A ∩ B 或 AB 表示, 此集合的元素必定同時在 A 及B 中.
The occurrence of AB(A ∩ B)means that both A and B occur.

排列與組合題目

初階題目

中階題目

(請留意堂上筆記!)

高階題目

(請留意堂上筆記!)

地獄級題目

(請留意堂上筆記!)
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