【Arithmetic Sequence 等差數列|Geometric Sequence 等比數列】AS|GS

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AfterSchool 2024-3-22 89
AS 等差數列 及 GS 等比數列是數學DSE的必修一課,重點包括了解 ASGS 公式、概念、性質和應用。
AS 等差數列(Arithmetic Sequence)及 GS 等比數列(Geometric Sequence)是係數學DSE的必修一課,重點包括了解 ASGS 公式、概念、性質和應用。
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AS 等差數列 Arithmetic Sequence

AS定義

一個數列,如果任意相鄰兩項之差保持不變,則該數列被稱為等差數列。這個差值被稱為等差,通常用字母 d 表示。

AS基本公式

對於一個等差數列,第 n 項可以表示為:
an=a1+(n−1)d
其中:
an 表示第 n 項
a1 表示第一項
d 表示公差(任意相鄰兩項之差)
n 表示項數
意義:
等差數列常用於描述具有固定增加或減少量的數量關係。例如,每日收入的增加量、等間隔時間的距離等。
例子:
一) 3, 5, 7, 9, 11, …(3為首項,每次增加2)
二)10, 7, 4, 1, -2, …(10為首項,每次減少3)

AS求和公式

GS 等比數列 Geometric Sequence

GS定義

一個數列,如果任意相鄰兩項的比例保持不變,則該數列被稱為等比數列。這個比例被稱為公比,通常用字母 r 表示。

GS基本公式

對於一個等比數列,第 n 項可以表示為:
an = a1 ‧ r(n-1)
其中:
an 表示第 n 項
a1 表示第一項
r 表示公比
n 表示項數
意義:
等比數列常用於描述指數增長或減少的情況,例如投資的複利增長、細胞分裂的數量等。
例子:
一)2, 6, 18, 54, 162, ...(2為首項,每次乘3)
二)100, -50, 25, -12.5, 6.25, …(100為首項,每次乘-0.5)

GS求和公式

GS無限項求和公式

AS 和 GS 的比較

相似之處:
- 二者都是數學中的特殊數列
- 都有一個初始值 a1
- 都有一個規律性的增加或減少模式
不同之處:
- AS 的增加或減少是固定的,而 GS 是按比例增加或減少
- AS 的公差是一個固定的數值,而 GS 的公比是一個固定的比例
- AS 的增長速度是恆定的,而 GS 的增長速度是指數級別的

ASGS公式裡面為什麼需要-1?

在 ASGS(Arithmetic Sequence and Geometric Sequence)嘅公式中,需要使用 -1 是因為公式已包括首項,因此當計算第 n 項時,需要考慮到第一項已經存在,將 n 減去 1,以獲得正確的項數。
具體來說:
2、5、8、11、14 為一個 AS 等差數列(每項加3),第五項為14。如果用常理去理解,14是由首項2加了四次3得出來的結果,換算為公式就是14 = 2 +(4)3,再換做項式表示就是a5=a1+(5−1)3。
GS 等比數列同理。

ASGS題目

初階

中階

高階

(請留意堂上筆記!)

地獄級

(請留意堂上筆記!)
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