續多項式 More about Polynomials 係初中學過多項式嘅延伸課題，屬於數學DSE必考嘅其中一課，內容包括重溫多項式定義、判別多項式、多項式加減乘除、最大公因式 H.C.F. 及最小公倍式 L.C.M.等。
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多項式基本概念 Polynomials
多項式 (polynomial)是指由一個或多個變量 (variable) 和它們的常數系數 (constant coefficient) 所構成的代數式，其中變量只能以自然數次冪 (natural number exponent) 為指數。
常用詞彙：
- 次方 (order)： 多項式中最大嘅次方(又稱為「冪」)
- 項數 (no. of terms)： 多項式由多少個單項式組成，例如x2 +x +3則為3組
- 係數 (coefficient)： 多項式中某項未知數前的數字，例如7x2則為7，4y5則為4
- 不同類項(different terms)： 兩個變數或次方不一樣的「項」，例如3y及3x2
- 排列方法降冪(descending order)： 根據次方由大至細排序，例如3x3+y3+2w2+x+3
- 排列方法升冪(ascending order)： 次方細至大排序
- 常數項(constant term)： 只得數字沒有未知數的項
判別多項式 Determination of Polynomials
首先要明白代數式、方程、多項式嘅分別：
代數式：用文字符號代表數的數式
例：-2/7 , 0 , 5x , 2y-5/4x+3
方程：有等號的數式
例：3x-2 = 4x+3
多項式：一個或有限個未知道的單項式的和所形成的代數式
例：「3x2 - 5x + 2」,「4y2 - 5xy + 2x - 3y + 7」,「3x3 - 2xy + 4y2 - 6x3y2 -7x + 5y + 1」
當中需要注意，若未知數出現喺根號、指數、分母入面，則不能定義為「多項式」
例：2x , √(x-1) , 1/x-1
多項式的加減法 Addition and Subtraction of Polynomials
要做好多項式的加、減法，同學只需記住以下 3 個重點：
- 同類項（same terms）
- 拆括號
- 正負數加減
例子（一）：3x + 5y + 4x
當中 3x 同 4x 係同類項，所以可以相加： 3x + 4x = 7x
x 與 y 唔係同類項，所以唔可以相加。
所以計算步驟如下：
3x + 5y + 4x
= 7x + 5y
例子（二）：3x – 5y – (4x – 7y)
係呢個情況因為有括號所以要先拆除。
記得拆括號時要留意前面嘅符號，因為今次係負號，所以係係「負乘正4x」及「負乘負7y」，最後再進行正負數加減，結果如下：
3x – 5y – (4x – 7y)
= 3x – 5y - 4x + 7y
= 3x - 4x - 5y + 7y [調位方便計算，正常無需寫出嚟]
= -1x + 2y
多項式的乘法 Multiplication of Polynomials
要做好多項式的乘法，同學只需記住以下 4 個重點：
- 乘法分配性質
- 正負數相乘
- 基礎指數定律
- 多項式加、減法
例子： -3a ( 5a + 6 ) = 15a + 18
喺以上方程裡面，要識得將括號前面嘅 -3a 乘入去 5a 及 6 裡面，呢個動作稱之為「乘法分配性質」。同時，由於 -3a 涉及負數，所以都要留意「正負數相乘」。
計算步驟如下：
-3a ( 5a + 6 ) = 15a + 18
-15a2 - 18a = 15a + 18
跟住我哋需要記得「基礎指數定律」，相同指數嘅項數相加。
-15a2 - 18a - 15a - 18 = 0
-15a2 - 33a - 18 = 0
最後將成條數左右邊一齊乘 -1，咁就可以喺唔影響方程嘅情況下將符號變換。
15a2 + 33a + 18 = 0
多項式的除法 Division of Polynomials
多項式除法指「一組多項式除以另一組多項式」，例如「(x² +3x +5) ÷ (x +1) 」。
多項式除法計算方式與一般除法相同：
一般除法：
被除數＝除數×商數＋餘數
多項式除法：
被除式＝除式×商式＋餘式
多項式除法怎麼算？
長除法其實和我們在做直式除法時非常相似，一樣將被除式、除式依序用直式寫出，之後只要記得一個重點：「最前面的要被消掉」，之後以此類推，消到不能再消為止，長除法就完成了！
同樣以『 (x² +3x +5) ÷ (x +1) 』為例，將兩個式子用直式列出：
步驟1：將最前面的消掉，也就是將 「x²」 消除 → x +1 需要乘上 x 才可以變成 x²
步驟2：在商式的位置寫上一個 x → 計算完後會剩下 2x +5
步驟3：以此類推將最前面的消掉，也就是 2x 消除 → x +1 需要乘上 2 才可以變成 2x
步驟4：在商式的位置寫上 2 → 計算完後會剩下 3
步驟5：計算完剩下的 3 無法再被 x +1 消掉 →大功告成
最後再看這個直式就可以知道：商式是 x+2；餘式是 3
多項式除法常見錯誤 ：忘記缺項補零
❌ 錯誤示範：忘記缺項補「+0x」
⭕️ 正確示範
多項式的最大公因式與最小公倍式 H.C.F and L.C.M of Polynomials
DSE數學考試中，會要求找出兩組多項式 (Polynomial) 的H.F.C. (最大公因式) 和 L.C.M. (最小公倍式)。
簡單的記住兩個口訣：
H.C.F（最大公因數 / 最大公因式）
取出所有 Common terms 的「最小次方」
例子：試寫出 (x+2)(x+1)4(2x+3)3 及 (x2+2x+1)2(2x+3)5 的 H.C.F 最大公因式
解：先將後者多項式中的 (x2+2x+1)2 因式分解，利用恆等式可知等於 (x+1)2，於是乎比較下可見(x+2)(x+1)4(2x+3)3 及 (x+1)2(2x+3)5 有兩部分相同。
取其中「最小的次方」，因此答案是：(x+1)2(2x+3)3
L.C.M（最小公倍數 / 最小公倍式）
取出所有term的最大次方
例子：試寫出 (x+2)(x+1)4(2x+3)3 及 (x+1)2(2x+3)5 的 L.C.M 最小公倍式
把所有項取出來，並且取最大，因此答案是： (x+2)(x+1)4(2x+3)5
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