【續多項式】More about Polynomials|多項式長除法|DSE

Kingsley的5**數學課
Kingsley的5**數學課 2024-2-16 524
續多項式 More about Polynomials 係數學DSE其中一課,內容包括重溫多項式定義、判別多項式、多項式加減乘除、最大公因式 H.C.F. 及最小公倍式 L.C.M.等。
續多項式 More about Polynomials 係初中學過多項式嘅延伸課題,屬於數學DSE必考嘅其中一課,內容包括重溫多項式定義、判別多項式、多項式加減乘除、最大公因式 H.C.F. 及最小公倍式 L.C.M.等。
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多項式基本概念 Polynomials 

多項式 (polynomial)是指由一個或多個變量 (variable) 和它們的常數系數 (constant coefficient) 所構成的代數式,其中變量只能以自然數次冪 (natural number exponent) 為指數。
常用詞彙:
- 次方 (order): 多項式中最大嘅次方(又稱為「冪」)
- 項數 (no. of terms): 多項式由多少個單項式組成,例如x2 +x +3則為3組
- 係數 (coefficient): 多項式中某項未知數前的數字,例如7x2則為7,4y5則為4
- 同類項(same terms): 兩個變數同次方均為相同的「項」,例如5w7及3w7(因兩者均是w7
- 不同類項(different terms): 兩個變數或次方不一樣的「項」,例如3y及3x2
- 排列方法降冪(descending order): 根據次方由大至細排序,例如3x3+y3+2w2+x+3
- 排列方法升冪(ascending order): 次方細至大排序
- 常數項(constant term): 只得數字沒有未知數的項

判別多項式 Determination of Polynomials

首先要明白代數式、方程、多項式嘅分別:
代數式:用文字符號代表數的數式
例:-2/7 , 0 , 5x , 2y-5/4x+3
方程:有等號的數式
例:3x-2 = 4x+3
多項式:一個或有限個未知道的單項式的和所形成的代數式
例:「3x2 - 5x + 2」,「4y2 - 5xy + 2x - 3y + 7」,「3x3 - 2xy + 4y2 - 6x3y2 -7x + 5y + 1」
當中需要注意,若未知數出現喺根號、指數、分母入面,則不能定義為「多項式」
例:2x , √(x-1) , 1/x-1

多項式的加減法 Addition and Subtraction of Polynomials

要做好多項式的加、減法,同學只需記住以下 3 個重點:
- 同類項(same terms)

- 拆括號

- 正負數加減
例子(一):3x + 5y + 4x
當中 3x 同 4x 係同類項,所以可以相加: 3x + 4x = 7x
x 與 y 唔係同類項,所以唔可以相加。
所以計算步驟如下:
3x + 5y + 4x
= 7x + 5y
例子(二):3x – 5y – (4x – 7y)
係呢個情況因為有括號所以要先拆除。
記得拆括號時要留意前面嘅符號,因為今次係負號,所以係係「負乘正4x」及「負乘負7y」,最後再進行正負數加減,結果如下:
3x – 5y – (4x – 7y)
= 3x – 5y - 4x + 7y
= 3x - 4x - 5y + 7y [調位方便計算,正常無需寫出嚟]
= -1x + 2y 

多項式的乘法 Multiplication of Polynomials

要做好多項式的乘法,同學只需記住以下 4 個重點:
- 乘法分配性質

- 正負數相乘

- 基礎指數定律

- 多項式加、減法
例子: -3a ( 5a + 6 ) = 15a + 18
喺以上方程裡面,要識得將括號前面嘅 -3a 乘入去 5a 及 6 裡面,呢個動作稱之為「乘法分配性質」。同時,由於 -3a 涉及負數,所以都要留意「正負數相乘」。
計算步驟如下:
-3a ( 5a + 6 ) = 15a + 18
-15a2 - 18a = 15a + 18
跟住我哋需要記得「基礎指數定律」,相同指數嘅項數相加。
-15a2 - 18a - 15a - 18 = 0 
-15a2 - 33a - 18 = 0 
最後將成條數左右邊一齊乘 -1,咁就可以喺唔影響方程嘅情況下將符號變換。
15a2 + 33a + 18 = 0 

多項式的除法 Division of Polynomials

多項式除法指「一組多項式除以另一組多項式」,例如「(x² +3x +5) ÷ (x +1) 」。
多項式除法計算方式與一般除法相同:
一般除法:

被除數=除數×商數+餘數


多項式除法:

被除式=除式×商式+餘式
多項式除法怎麼算?
長除法其實和我們在做直式除法時非常相似,一樣將被除式、除式依序用直式寫出,之後只要記得一個重點:「最前面的要被消掉」,之後以此類推,消到不能再消為止,長除法就完成了! 
同樣以『 (x² +3x +5) ÷ (x +1) 』為例,將兩個式子用直式列出:
步驟1:將最前面的消掉,也就是將 「x²」 消除 → x +1 需要乘上 x 才可以變成 x²
步驟2:在商式的位置寫上一個 x → 計算完後會剩下 2x +5
步驟3:以此類推將最前面的消掉,也就是 2x 消除 → x +1 需要乘上 2 才可以變成 2x
步驟4:在商式的位置寫上 2 → 計算完後會剩下 3
步驟5:計算完剩下的 3 無法再被 x +1 消掉 →大功告成
最後再看這個直式就可以知道:商式是 x+2;餘式是 3

多項式除法常見錯誤 1 :忘記缺項補零

❌ 錯誤示範:忘記缺項補「+0x」
⭕️ 正確示範

多項式除法常見錯誤 2 :沒有除到底

❌ 錯誤示範:沒有除到底
⭕️ 正確示範

多項式的最大公因式與最小公倍式 H.C.F and L.C.M of Polynomials

DSE數學考試中,會要求找出兩組多項式 (Polynomial) 的H.F.C. (最大公因式) 和 L.C.M. (最小公倍式)。
簡單的記住兩個口訣:

H.C.F(最大公因數 / 最大公因式)

取出所有 Common terms 的「最小次方」
例子:試寫出  (x+2)(x+1)4(2x+3)3 及 (x2+2x+1)2(2x+3)5 的 H.C.F 最大公因式
解:先將後者多項式中的 (x2+2x+1)2 因式分解,利用恆等式可知等於 (x+1)2,於是乎比較下可見(x+2)(x+1)4(2x+3)3 及  (x+1)2(2x+3)5 有兩部分相同。
取其中「最小的次方」,因此答案是:(x+1)2(2x+3)

L.C.M(最小公倍數 / 最小公倍式)

 取出所有term的最大次方
例子:試寫出  (x+2)(x+1)4(2x+3)3 及 (x+1)2(2x+3)5 的 L.C.M 最小公倍式

把所有項取出來,並且取最大,因此答案是: (x+2)(x+1)4(2x+3)5
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