【圓方程】Equations of Circles

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圓方程 Equations of Circles 係數學DSE嘅必修課題,重點技巧包括一般式、三點求圓、直線求圓、兩圓位置關係等。
圓方程 Equations of Circles 係數學DSE嘅必修課題,重點技巧包括一般式General Form、標準式Standard Form、三點求圓、直線求圓、兩圓位置關係等。
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理解圓方程 Understand the Equation of a Circle

圓方程係用方程去表逹一個圓形,方程為:
x²+y²+Dx+Ey+F=0



(x – h)2 + (y – k)2 = r2
我哋可以理解為:
某一固定點「S ( h , k )」與某一可動點「A ( x , y )」嘅固定距離為r
於是乎就好似細個用圓規畫圓形咁,我地先用針拮住個圓心(固定點),將圓規拉開到一個距定距離,最後畫出一個圓形(可當作由無數個可動點連接而成 / 可動點嘅軌跡)

圓方程的表達形式 Forms Representing Equation of a Circle

標準式(Standard Form)

一個圓心為 (h, k),半徑為r的圓方程嘅標準式係:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
其實依條式根本就喺搵軌跡嘅方法。
用標準式嘅好處係一睇就可以睇到圓嘅圓心位置同半徑。

一般式(General Form)

假如我哋將圓方程嘅標準式展開(即拆開二次方嘅括號),我哋會得到以下嘅方程:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(其中D,E,F為常數)
由通式計算圓心坐標及半徑:
圓心坐標 = ( -D/2 , -E/2)
半徑 = √[(D/2)2+(E/2)2-F]

求圓方程的方法 Methods of Finding Equation of a Circle 

求圓方程的方法有2個。
情況一:利用圓嘅圓心同半徑

情況二:利用圓上任意三點的坐標

1. 利用圓的圓心及半徑求方程

首先,需知道兩點之間距離嘅公式為畢氏定理:
以下圖為例,想知道AS之間嘅距離,就可以公式「(3)2 = (y-5)2 + (4-x)2
(注意!因為(x-4)2或(4-x)2的答案都是「x2-2(x)(4)+42」,所以無需介意先寫哪一個數值!)
由此可得知:設固定點S(4, 5)與可動點A的距離(半徑)為3,求圓形方程

2. 利用圓上任意三點的坐標求圓方程

圓形方程的基本式為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,然而如果要透過三點計算圓方程,就需要用到標準式
(x-a)2+(y-b)2 = r2
當中 x 同 y 為圓心嘅 x 座標 及 y 座標,a 同 b 為圓線上任意一點嘅 x 座標 及 y 座標,r 就係圓線上任意一點與圓心之間嘅距離,亦即係半徑。
例題 : 圓經過三點 (2,0),(0,1) 及 (0,4),求圓心, 半徑及圓的方程。
解 : 
要解這個問題,我們可以使用圓的標準方程式 (x-a)2 + (y-b)2 = r2,其中 (x,y) 是圓心的坐標,(r) 是半徑。我們將這三個點分別代入方程式,然後解聯立方程組來找到 (x)、(y) 和 (r)。
已知定點是 (2,0),(0,1),和 (0,4)。代入這些點,我們得到三個方程:
1. 將 (2,0) 代入方程式得到 (x-2)2 + (y-0)2 = r2
2. 將 (0,1) 代入方程式得到 (x-0)2 + (y-1)2 = r2
3. 將 (0,4) 代入方程式得到 (x-0)2 + (y-4)2 = r2
接下來,我們將這三個方程簡化並解聯立方程組。
1. (x-2)2 + (y-0)2 = r2 變為 x2 + 4 - 4x + y2 = r2
2. (x-0)2 + (y-1)2 = r2 變為 x2 + 1 - 2y + y2 = r2
3. (x-0)2 + (y-4)2 = r2 變為 x2 + 16 - 8y + y2 = r2
現在我們解這個方程組找到 (x)、(y) 和 (r)。
首先,我們可以用 Equation 2 減去 Equation 1,消去 r2
(x2 + 1 - 2y + y2) - (x2 + 4 - 4x + y2) = 0 
簡化為: 4a - 2b = 3…………(4)
接下來,我們可以用 Equation 3 減去 Equation 2,同樣消去 r2
(x2 + 16 - 8y + y2) - (x2 + 1 - 2y + y2) = 0
簡化為: 6b = 15…………(5)
解這個聯立方程組,得到 (x = 2) 和 (y = 2.5)。
最後,將 (x) 和 (y) 的值代入其中一個方程,例如 Equation 1:
22 + 4 - 4(2) + (2.5)2 = r2
得到 (r2 = 6.25),解得 (r = 2.5)。
因此,圓心是 (2, 2.5),半徑是 (2.5),圓的方程是 (x-2)2 + (y-2.5)2 = 6.25。
注:一般式為 x2 − 4x + y2 − 5y + 4 = 0

判別一任意點與圓的位置關係

點P(x1,y1) 與圓的位置關係:
⑴當(x – h)2 + (y – k)2 > r2時,則點P在圓外。
⑵當(x – h)2 + (y – k)2 = r2時,則點P在圓上。
⑶當(x – h)2 + (y – k)2 < r2時,則點P在圓內。

直線與圓的位置關係

一條直線同一個圓相交 (Intersection of Straight Line and Circle)嘅情況有以下三種:
  1. 直線穿過圓形,因此佢哋有兩個相交點。
  2. 直線只係掂住個圓形(即直線係圓嘅切線),因此佢哋只有一個相交點。
  3. 直線喺圓嘅外面「經過」,因此佢哋冇相交點。

求直線與圓交點的坐標 Coordinates of Intersection of Straight Line and Circle

例子:求直線 2x-y+1=0 與圓x2+y2-2x-6y-8的交點
答:
首先將直線方程中的「y」作主項,得出「y = 2x+1」,然後代入圓的方程中:
x2+(2x+1)2−2x−6(2x+1)−8=0
現在我們解這個方程來找到x的值,然後將這些值代入直線方程來計算相應的y值。
x2+(2x+1)2−2x−12x−6−8=0
x2+(4x2+4x+1)−2x−12x−6−8=0
x2+4x2+4x+1−2x−12x−14=0
5x2−10x−13=0
經由formula 01可得知x的答案有兩個,分別為「2.90」或「-0.90」
將以上兩個x的答案代入直線方程,可得出最終結果為:
當x=2.90時,y=2(2.90)+1=6.80
當x=-0.90時,y=2(-0.90)+1=-0.80
因此,直線與圓的交點有兩個,其座標分別為(2.90,6.80)及(-0.90,-0.80)

判斷直線與圓相交的情況

當我哋將直線方程代入圓形方程之後(無論代x定代y),都會得到一條一元二次公式Ax2+Bx+C=0(如上面例子);喺撳formula 01計出答案之前,我哋可以使用「b2-4ac」去判別直線方程同圓形方程有冇相交點!
b2-4ac > 0(兩個相交點)
b2-4ac = 0(一個相交點)
b2-4ac < 0(沒有相交點)

求圓的切線方程

求圓嘅切線嘅題目基本上可以分為兩類。
1. 求通過圓上一點的切線
喺依個情形之下我哋會求到一條切線。(圓上嘅任何一點都只會有一條切線通過!)
2. 求通過圓外面某一點嘅切線
喺依個情形之下我哋會求到兩條切線
其實無論喺邊一種情形,我哋求切線方程嘅方法都係一樣:
  • 先設切線為 y = mx + c。
  • 因為切線通過某一點(不論係圖上面或者圓外面)嘅,所以我哋可以代依點嘅坐標入直線方程度。為方便講解,當切線通過(1,2)依點。
    因此:2 = m + c
    即 c = 2 – m
  • 所以直線嘅方程會變成 y = mx + (2-m)
  • 當我哋要求直線同圓嘅交點,所以要代“y = mx + (2-m)”入圓方程度,咁就可以得到一條一元二次方程。
  • 而最後因為條直線係切線嚟嘅,所以依條方程嘅判別式會等於0。
  • 我哋只要根據一元二次方程中嘅“a、b、c位”代入公式 b2 – 4ac = 0,然後解咗佢就會計到個m。
    當中要留意嘅係:
    1. 過程中嘅數式會好長
    2. 根據題目嘅情況,我哋可能會計到一個或者兩個m。
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