【軌跡】Equation of Locus|直線軌跡|圓軌跡|拋物線軌跡

AfterSchool
AfterSchool 2024-3-8 197
軌跡 Equation of Locus 係數學DSE嘅必修課題,重點技巧包括直線軌跡、圓軌跡、拋物線軌跡,可動點與點線距離關係等。
軌跡 Equation of Locus 係數學DSE嘅必修課題,重點技巧包括文字描述及描繪軌跡,例如直線軌跡、圓軌跡、拋物線軌跡,可動點與點線距離關係等。
AfterSchool為大家介紹所有公式定理及應用,並附上相關題目示範!
想學埋圓形方程?即撳:【圓方程】Equations of Circles
喺學習零散嘅新知識之前,有冇諗過需要先建立一個系統性嘅學習模式?我係Kingsley,多年來透過DSE數學補習幫助學生輕鬆取得大學入場券。想知道我嘅教學理念同往績,即撳:數學補習名師 Kingsley | AfterSchool

理解軌跡 Understand Locus

在DSE數學嘅考核範圍裡面,「軌跡」意思指:
一個可動點(k)喺平面幾何之中留下嘅所有位置的集合。

換句話說,佢係描述一個隨參數變化而形成的路徑。
軌跡可以是直線、曲線、閉合曲線(例如圓)等,取決於點的運動方式。在解題時,通常會給定一些數據,例如固定點、固定線嘅初始位置以及一個可動點嘅運動規則,然後我們可以通過分析這些數據喺空間中移動嘅路徑來找出它們的軌跡。
舉例來說,如果我們考慮一個點在平面上以一定距離沿著直線(不是線段)移動,那麼它的軌跡將是一條與之平行的直線;而如果考慮一個點以一定距離繞著一個固定點旋轉,那麼它的軌跡將是一個圓。

文字描述軌跡

與一點保持固定距離 Maintaining a Fixed Distance from a Fixed Point

正如上圖,「與一點保持固定距離」嘅軌跡就係:
一個以「固定點」為圓心、「固定距離」為半徑嘅圓形

與兩點保持相等距離 Maintaining an Equal Distance from 2 Given Points

正如上圖,「與兩點保持相等距離」嘅軌跡就係:
位於兩點中間的一條直線(對於連接兩點的直線,軌跡為其的垂直平分線)

與一直線保持固定距離 Maintaining a Fixed Distance from a Line

正如上圖,「與兩點保持相等距離」嘅軌跡就係:
兩條與已知線平行的直線(記得係兩條,因為左右固定距離都可以各自產生一條直線!)

與一線段保持固定距離 Maintaining a Fixed Distance from a Line Segment

「直線」為無盡伸展的直線;「線段」則為長度有限的直線。
正如上圖,「與一線段保持固定距離」嘅軌跡就係:
左右為直線、頭尾為半圓形的圖像

與兩平行線保持相等距離 Maintaining an Equal Distance from 2 Parallel Lines

正如右圖,「兩平行線保持相等距離」嘅軌跡就係:
位於兩條平行線中間的平行直線

與兩相交直線保持相等距離 Maintaining an Equal Distance from 2 Intersecting Lines

正如右圖,「與兩相交直線保持相等距離」嘅軌跡就係:
兩條相交直線的角平分線(記得係兩條!)

以代數方程描述點的軌跡 Describe the Locus of Points with Algebraic Equations

點樣set軌跡方程?就係根據條題目點形容就點寫!
比如:P為一可動點使AP=BP,找P的軌跡。
我哋就可以直接攞AP=BP呢句出嚟代入公式!

求直線軌跡的方程 Linear Equation

直線方程可以分為 3 種,分別為:
1. 水平線(y = k ,當中 k 為常數)
例子:P點與水平線 y = 4 及 y = 6 等距。求P點的軌跡。
答案:P的軌跡為y = 5
2. 鉛垂線(x = k ,當中 k 為常數)
例子:P點與點 (3,5) 及 (5,5) 的距離相等。求P點的軌跡。
答案:P的軌跡是x = 4
3. 斜線(ax + by + c = 0 或 y=mx+C,當中a、b、c、m、C為常數)
例子1:點 P 與直線 4x + y + 3 = 0 及 4x + y + 7 = 0 的距離相等。求P點的軌跡。
答案:
由於兩條直線公式Ax+By+C當中的常數A及B的數值相等,可得知他們是一對平行線,分別穿過y軸截距(0,3)及(0,7);因此,能與兩條直線等距的軌跡應為穿過中點(0,5)的平行線,其方程為 4x + y + 5 = 0 
例子2:P點與點 A(4, 5) 及 B(8,1) 的距離相等。求P點軌跡。
答案:
SA長度 = SB長度
(x – 4)2 + (y – 5)2 = (x – 8)2 + (y – 1)2
x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = x2 – 16x + 64 + y2 – 2y + 1
– 8x + 16 – 10y + 25 = – 16x + 64 – 2y + 1
8x – 8y – 24 = 0
x – y – 3 = 0
或者可以先搵出線段AB嘅斜率m(由於AB斜率與軌跡P互相垂直,因此兩者相乘等於-1),以及線段AB嘅中點座標,藉此建立方程:
P點軌跡斜率 = 1
P點軌跡與線段AB的相交點 = [(4+8)/2],[(5+1)/2] = (6,3)
P點軌跡方程:x-y-3=0

求圓軌跡的方程 Circle Equation

圓形軌跡嘅題目描述會係「一個可動點與一個固定點保持一個固定距離」。
例子:S點與點 A(4, 5) 的距離為3。求S點的軌跡。
答案:

求拋物線軌跡的方程 Quadratic Equation

拋物線其實即係一元二次方程 Quadratic Equation,方程式為y=Ax2+Bx+C,題目描述為而「軌跡P與一固定點及一直線的距離相等」
例子:P點與點A(4,3)及直線y=2的距離相等。求P點的軌跡。
設P點為 (x, y)。
P點與點A(4,3)的距離 = P點與直線y=2的距離
√[(x-4)2+(y-3)2] = y-2
(x-4)2 + (y-3)2 = (y-2)2
x2-8x+16+y2-6y+9 = y2-4y+4
x2-8x+21 = 2y
AfterSchool

AfterSchool

AfterSchool 是一個針對DSE而設的網上補習平台,課程涵蓋多個 DSE 科目,讓同學足不出戶就可以享有優質教學。註冊用戶人達 50,000 人,當中超過四分之一學生為應屆文憑試考生,是全港最大型網上補習平台。