【離散 Measures of Dispersion】離差|標準差|標準分|方差|正態分佈

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AfterSchool 2024-3-20 282
Measures of Dispersion 離散係數學DSE嘅必修課題,技巧包括認識各種離散測量方法,例如Dispersion 離差、Standard Deviation 標準差、Standard Score 標準分、Variance 方差、Normal Distribution 正態分佈等。
理解Measures of Dispersion(離散度量)係統計學中一個重要課題,離差Dispersion、標準差Standard Deviation、標準分Standard Scores、方差Variance、正態分佈Normal Distribution主要用於描述數據集中各個數據點嘅分散程度。
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1. 離差 Dispersion

離差是指數據集中個別數值與數據集的平均數之間的距離。計算離差時,我們首先找到每個數值與平均數的差,然後將這些差求和。
離差總和可以為正值或負值或等於0,情況如下:
正值:大量數據集中在比平均值大的位置,然而同一時間數據中存在一個或多個比平均值小很多的極端值,它對整體平均值產生了較大的影響,導致數據集的平均值偏向於這些極端值。
等於0:數據趨向呈正態分佈。
負值:大量數據集中在比平均值小的位置,然而同一時間數據中存在一個或多個比平均值大很多的極端值,它對整體平均值產生了較大的影響,導致數據集的平均值偏向於這些極端值。

2. 標準差 Standard Deviation

標準差是一個衡量數據集中數值分散程度的指標。它代表著數據集中各個數值與其平均值之間的平均差異。標準差越大,表示數據集中的數值越分散;標準差越小,表示數據集中的數值越集中。
以數學符號表示,標準差通常用「σ」表示。計算標準差的過程是先計算每個數值與平均值的差異,然後將這些差異的平方求和,再除以數據的總數,最後取平方根。這個過程將給出一個衡量數據集分散程度的數值,其單位與原始數據的單位相同。
標準差的主要作用是提供一個量化的指標,幫助我們理解數據的分佈情況。當我們計算了標準差後,可以根據它來判斷數據集中的數值是集中還是分散,進而進行比較、分析和推斷。
例子:
繼續使用上述數據集。

3. 標準分 Standard Scores

標準分是一個用於標準化數據的方法,它衡量一個數值與其平均值之間的差異,以標準差為單位。

4. 方差 Variance

方差是標準差的平方,它衡量了數據集中數值與其平均值之間的平均差異的平方。

5. 正態分佈 Normal Distribution

正態分佈是統計學中最常見的分佈之一,它具有對稱的鐘形曲線。在正態分佈中,平均值、中位數和眾數相等。標準差越大,曲線越寬,數據越分散;標準差越小,曲線越窄,數據越集中。
在正態分佈中,通常會使用平均值和標準差來描述數據的分佈情況。假設我們有一個身高數據集,並已經計算出其平均值和標準差。假設平均身高為170厘米,標準差為5厘米。這意味著大多數人的身高會在165到175厘米之間(平均值加減一個標準差),而約68%的人會在這個範圍內。
如果我們將範圍擴展到兩個標準差,即160到180厘米,約95%的人會在這個範圍內。這顯示了正態分佈中的典型情況,大多數數據點集中在平均值附近,而較少的數據點分佈在遠離平均值的地方。
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